Phân tích toán học và độ phức tạp tính toán?

độ phức tạp tính toán liên quan đến một lượng lớn Combinatorics và lý thuyết số, một số kỹ năng từ stochatics và một số đại số mới nổi.

Tuy nhiên, là một nhà phân tích, tôi tự hỏi liệu có những ứng dụng phân tích vào lĩnh vực này, hoặc có thể những ý tưởng lấy cảm hứng từ phân tích. Tất cả những gì tôi biết có chút tương ứng với điều này là biến đổi Fourier trên các nhóm hữu hạn.

Bạn có thể giúp tôi được không?

Flajolet và Sedgewick đã xuất bản cuốn sách "Phân tích kết hợp" http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/AnaCombi/anacombi.html . Tôi không biết nhiều về chủ đề đó, nhưng những người trong lĩnh vực này sử dụng các công cụ từ phân tích phức tạp. Cho đến nay, các ứng dụng của họ dường như nhiều hơn về phân tích các thuật toán, chứ không phải về độ phức tạp tính toán, theo như tôi thấy.

Các thuật toán Markov Chain Monte Carlo là một công cụ hữu ích để tìm các thuật toán gần đúng. Một số kỹ thuật để chỉ ra rằng các chuỗi Markov này được lấy cảm hứng từ hoặc phân tích trực tiếp - ví dụ, xem chương về ước tính thể tích của một cơ thể lồi trong cuốn sách của Mark Jerrum về đếm .

Có những cách tiếp cận phân tích đối với bổ đề của Szemerédi, trong đó có một ứng dụng dễ thương để thử nghiệm tài sản tổ hợp. Bổ đề cho Nhà phân tích của Szemerédi có một thuật toán ngẫu nhiên để tìm một phân vùng thông thường yếu của đồ thị; cũng xem Giới hạn đồ thị và Kiểm tra tham số .

Phân tích chức năng đang đóng một vai trò ngày càng quan trọng trong lý thuyết về nhúng số liệu. Mặc dù khó có thể liệt kê tất cả các khía cạnh của sự tương tác, chủ đề chính là việc sử dụng các phương pháp từ phân tích chức năng để hiểu cách các số liệu được nhúng vào các không gian chuẩn. Vấn đề thứ hai này xuất hiện trong bài toán cắt thưa nhất, đây là một vấn đề tối ưu hóa đồ thị quan trọng.

Để biết thêm thông tin, một nguồn tốt là bất cứ điều gì bởi Assaf Naor .

Không phải về độ phức tạp tính toán, nhưng dù sao cũng thú vị

Một số cách tiếp cận ngữ nghĩa của tính toán vô hạn dựa trên các không gian số liệu. Googling "ngữ nghĩa không gian số liệu" bật lên rất nhiều. Một tài liệu tham khảo (cũ) về chủ đề này là Control Flow Semantics của de Bakker và de Vink. Một số công việc gần đây đã được thực hiện bởi chính Neel của chúng tôi , cụ thể là ngữ nghĩa Ultrametric cho các chương trình phản ứng . Khu vực này rất khác với những gì được mô tả ở trên, nhưng các khái niệm từ phân tích chắc chắn tìm thấy nhà ở đây.

Các nguồn tài nguyên giới hạn đo lý thuyết phát triển bởi Jack Lutz là một khu vực tuyệt vời cho những người có nền tảng về phân tích để làm việc trên. Giấy gốc

Hầu như ở khắp mọi nơi độ phức tạp phi hình thành cao , Jack H. Lutz, Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống, 1992.

khái quát hóa khái niệm đo lường Lebesgue thành các lớp phức tạp và nhiều tác phẩm sau đây có thể được tìm thấy trên internet.

Theo trực giác, hãy xem xét vấn đề vs N P. Nếu chúng ta có thể định nghĩa (có, chúng ta có thể) một thước đo trên các lớp phức tạp đối với một lớp lớn, hãy nói E S P A C E = D S P A C E [ 2 O ( n ) ] , và chứng minh rằng thước đo của P là nhỏ hơn so với biện pháp của N P , sau đó P ≠ N P . Hơn nữa, chúng ta có thể chứng minh tuyên bố như "gần như tất cả các chức năng trong E S P A $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{ESPACE} = \mathsf{DSPACE}[2^{O(n)}]$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ cần Ω ( 2 n / n ) cửa", kéo dài Shannon ràng buộc vào một lớp hạn chế E S P Một C E .$\mathsf{ESPACE}$$\Omega(2^n/n)$$\mathsf{ESPACE}$

Những người đang làm việc trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học máy tính có thể được hưởng lợi từ các lĩnh vực phân tích khác nhau .

Để cho bạn một ví dụ cụ thể, tôi sẽ mô tả trường hợp của riêng tôi. Tôi đang tiến hành nghiên cứu trong các nền tảng của mật mã. Trong lĩnh vực này (cũng như trong độ phức tạp tính toán), có một cấu trúc được gọi là nhà tiên tri ngẫu nhiên (xem thêm trang này ). Các tính chất khác nhau của nó đôi khi được nghiên cứu bằng cách khai thác các công cụ từ lý thuyết đo lường , là một trường con của phân tích. Điều trị như vậy có thể được tìm thấy trong bài báo này , cũng như trong một số bài báo trích dẫn nó.

Bạn cũng có thể xem qua Khái niệm cơ bản về Đại số và Phân tích cho Khoa học Máy tính của Jean Gallier. Đây là một cuốn sách đang được tiến hành và cho bạn biết những gì mới trong lĩnh vực này.

Tôi tin rằng mối liên hệ tốt nhất giữa phân tích toán học và lý thuyết phức tạp là trong mô hình tính toán thực sự của Blum et al. Việc tách NP_R khỏi P_R vẫn là một vấn đề mở, trong đó hai lớp được xác định trong mô hình tính toán thực, trong đó mỗi số thực là một thực thể và một thao tác thông thường (+, -, *, /) thực hiện một bước.