Bootstrapping kết quả thực sự bootstrap

Có một loại kết quả trong TCS thường được gọi là kết quả bootstrapping . Nói chung, nó có dạng

Nếu mệnh đề giữ, thì mệnh đề giữ.$A$$A'$

trong đó và là các mệnh đề trông giống nhau và dường như "yếu hơn" thì , đó là lý do chúng tôi đặt tên cho loại kết quả này. Hãy để tôi đưa ra một vài ví dụ cụ thể:$A$$A'$$A$$A'$

Định lý. [Chen và Tell, STOC'19] Khắc phục mọi sự cố . Giả sử rằng với mọi tồn tại vô số sao cho mạch có độ sâu cần nhiều hơn để giải quyết vấn đề . Sau đó, đối với mọi , không thể được giải quyết bằng mạch có độ sâu và , và do đó .$\Pi \in \{\mathsf{BFE,W_{S_5},W5STCONN}\}$$c>1$$d\in \mathbb{N}$$\mathcal{TC}^0$$d$$n^{1+c^{-d}}$$\Pi$$d_0,k \in \mathbb{N}$$\Pi$$\mathcal{TC}^0$$d_0$$n^k$$\mathcal{TC}^0 \subsetneq \mathcal{NC}^1$

Định lý. [Gupta et al., FOCS'13] Giả sử rằng tính toán vĩnh viễn đòi hỏi độ sâu - $3$ mạch số học có kích thước lớn hơn $n^{\Omega(\sqrt{n})}$ , trên các trường có đặc tính $0$ . Sau đó, tính toán vĩnh viễn đòi hỏi các mạch số học có kích thước siêu đa thức, và do đó, phỏng đoán của Valiant.

Chà, một ví dụ nổi tiếng hơn nhưng không phù hợp đến từ sự phức tạp chi tiết:

Định lý. [Backurs và Indyk, STOC'15] Nếu chúng ta có thể tính toán EDIT DISTANCE theo thời gian $O(n^{2-\epsilon})$ (trên mô hình RAM), thì chúng ta sẽ nhận được bộ giải SAT nhanh hơn bất kỳ bộ giải nào hiện có.

Cập nhật. (10 tháng 7 năm 2019) Ví dụ về khoảng cách chỉnh sửa có thể hơi khó hiểu. Hãy tham khảo câu trả lời của Ryan để biết ví dụ về tiêu chuẩn của người Viking.

Như bạn có thể tưởng tượng, (theo hiểu biết tốt nhất của tôi), tất cả các kết quả của loại này đều được chứng minh bằng cách lấy phần tử (tôi đã lấy phần tử trong khoảng cách chỉnh sửa một). Vì vậy, trong một số ý nghĩa, đây là tất cả các kết quả thuật toán.

Thông thường có hai cách để hiểu kết quả bootstrapping. 1. Chúng ta chỉ cần chứng minh và sau đó áp dụng kết quả, nếu chúng ta muốn chứng minh ; 2. Chứng minh có thể khó khăn vì một tiên nghiệm mà chúng tôi nghĩ rằng việc chứng minh khó khăn.$A$$A'$$A$$A'$

Vấn đề là, một (hoặc chính xác hơn là tôi ) có thể khó lạc quan và hiểu được đầu tiên, nếu không tồn tại bất kỳ việc sử dụng tích cực nào cho kết quả bootstrap! Vì vậy, câu hỏi của tôi là

Chúng ta có biết bất kỳ kết quả bootstrapping nào trong đó được chứng minh không?$A$

Một kết quả chứng minh kinh điển bằng bootstrapping (và áp dụng đối với chứng minh giới hạn thực thấp hơn) là trong bất kỳ mô hình tính toán nơi chúng tôi có $TIME(n) \neq TIME(n^c)$ cho một số liên tục $c > 1$ , chúng ta trên thực tế có $TIME(n) \neq TIME(n^{1+\epsilon})$ , cứ mỗi $\epsilon > 0$ .

Ý tưởng là nếu $TIME(n) = TIME(n^{1+\epsilon})$ , chúng ta có thể áp dụng một lập luận đệm nhiều lần để lấy $TIME(n) = TIME(n^c)$ cho mọi hằng số $c$ . Bạn thậm chí có thể sử dụng một đối số như vậy để cải thiện một chút các định lý phân cấp thời gian đã biết trong các trường hợp khác nhau.

Tôi không chắc liệu điều này có được tính bởi vì tất cả đều từ cùng một tờ giấy hay không, nhưng trong lần đầu tiên của Craig Gentry được mã hóa hoàn toàn đồng nhất dựa trên các mạng lý tưởng , trước tiên anh ta cho thấy rằng để xây dựng sơ đồ FHE, nó đủ để xây dựng một "phần nào sơ đồ mã hóa "đồng hình" với một thuộc tính nhất định (mạch giải mã của nó nông hơn độ sâu mà mạch có thể mã hóa). Sau đó, với rất nhiều công việc, cho thấy làm thế nào để xây dựng một sơ đồ mã hóa hơi đồng hình như vậy.

Bằng chứng của Huang gần đây của $A'$ , những nhạy Conjecture, bao gồm chứng minh một $A$ tiếng để ngụ ý nó. Xem blog của Aaronson:

Từ công trình tiên phong của Gotsman và Linial năm 1992, người ta đã biết rằng để chứng minh Giả thuyết độ nhạy, nó đủ để chứng minh phỏng đoán kết hợp đơn giản hơn sau đây $A$ :

Đặt S là tập con bất kỳ của hypercube Bool n chiều, $\{0,1\}^n$ , có kích thước $2^{n-1}+1$ . Sau đó, phải có một điểm trong S với ít nhất ~ nc hàng xóm trong S.

Một điều xuất hiện trong tâm trí, trong lý thuyết học tập tính toán, là thúc đẩy . Bản chất:

$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Thông thường, điều này thực sự được sử dụng bằng cách có được một người học yếu.