Về phỏng đoán độ nhạy?

Việc thiết lập gần đây của mối quan hệ $bs(f)=O(s(f)^4)$ đi qua Gotsman, Linial .

Cách tiếp cận tương tự có thể đến hoặc có giới hạn thiết yếu nào đối với phương pháp này không? $O(s(f)^2)$

cc.complexity-theory boolean-functions

— T ....
nguồn

Điều này được thảo luận trong phần kết luận của bài viết của Hao Huang (dưới viên đạn thứ ba). Huang viết: "Có lẽ người ta có thể thu hẹp khoảng cách này bằng cách áp dụng trực tiếp phương pháp quang phổ vào các hàm boolean thay vì cho các hypercubes."

— Gamow

Từ bài báo: những gì thực sự được chứng minh là, trong Định lý 1.4, không thể cải thiện (nó chặt chẽ đối với một số chức năng). Sau đó, nó được kết hợp với kết quả đã biết trước đó của Nisan và Szegedy [1], (một sự tách biệt, tình cờ, bạn đã hỏi về một vài năm trước ). Từ khảo sát này [2] (xem Bảng 1), tham chiếu [3], (2) không thể được cải thiện ngoài trong đó . Vì vậy, đại lộ này sử dụng bằng cấp như một proxy không thể

\begin{matrix} (1) & \forall f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}, s (f) \geq \sqrt{\deg f} \end{matrix}

$\forall f\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}, \qquad s(f) \geq \sqrt{\deg f} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \forall f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}, \deg f \geq \sqrt{\frac{1}{2} bs f} \end{matrix}

$\forall f\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}, \qquad \deg f \geq \sqrt{\frac{1}{2}\operatorname{bs} f} \tag{2}$

bs f ≳ (\deg f)^{\log_{3} 6}

$\operatorname{bs} f \gtrsim (\deg f)^{\log_3 6}$

\log_{3} 6 \approx 1.63

$\log_3 6 \approx 1.63$ đưa ra độ nhạy bậc hai giới hạn trên của độ nhạy khối.

Mặt khác, có thể sử dụng các kỹ thuật tương tự (nghĩa là xen kẽ các giá trị riêng của ma trận đã ký) nhưng trên các đối tượng khác nhau (trước hết và không sử dụng mức độ như một proxy) có thể dẫn đến giới hạn sắc nét hơn. Điều này được tuyên bố rõ ràng là câu hỏi mở trong bài báo của Huang [4]:

Có lẽ người ta có thể thu hẹp khoảng cách [bậc hai so với tứ phân] bằng cách áp dụng trực tiếp phương pháp quang phổ vào các hàm boolean thay vì cho các hypercubes.

[1] Noam Nisan và Mario Szegedy. Về mức độ của các hàm Boolean như đa thức thực sự . Tính toán. Độ phức tạp, 4: 462 Từ467, 1992. doi: 10.1007 / BF01263419

[2] Pooya Hatami, Raghav Kulkarni và Denis Pankratov, Biến thể về phỏng đoán độ nhạy. Lý thuyết về khảo sát sau đại học về máy tính, năm 2011 https://theoryofcomputing.org/articles/gs004/

[3] Noam Nisan và Avi Wigderson. Về thứ hạng so với sự phức tạp trong giao tiếp . Combinatorica, 15: 557 bóng565, 1995. doi: 10.1007 / BF01192527

[4] Hạo Hoàng. Các sơ đồ con cảm ứng của hypercubes và một bằng chứng về phỏng đoán độ nhạy. arXiv: 1907.00847, 2019. https://arxiv.org/abs/1907.00847

— Clement C.
nguồn