Bằng chứng cho vấn đề giới hạn tổng của căn bậc hai

Trong [1], Garey et al. xác định cái mà sau này được gọi là Bài toán tổng gốc vuông trong quá trình tìm ra tính đầy đủ NP của ESPidean TSP.

Với số nguyên $a_1, a_2, \ldots, a_n$ và $L$ , xác định xem $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

Họ nhận thấy rằng nó không phải là thậm chí rõ ràng rằng vấn đề này là trong NP vì nó không được rõ ràng những gì các chữ số tối thiểu chính xác được yêu cầu trong việc tính toán của rễ vuông để đủ so sánh tổng để $L$ . Tuy nhiên, họ đã trích dẫn một giới hạn trên được biết đến nhiều nhất của $O(m2^n)$ trong đó $m$ là "số chữ số trong biểu thức tượng trưng ban đầu". Thật không may, giới hạn trên này chỉ được quy cho một giao tiếp cá nhân từ AM Odlyzko.

Có ai có một tài liệu tham khảo thích hợp cho giới hạn trên? Hoặc, trong trường hợp không có tài liệu tham khảo được công bố, một bản phác thảo bằng chứng hoặc bằng chứng cũng sẽ hữu ích.

Lưu ý: Tôi tin rằng ràng buộc này có thể được suy ra do hậu quả của các kết quả tổng quát hơn của Bernikel et. al. [2] từ khoảng năm 2000 trên các giới hạn phân tách cho một lớp biểu thức số học lớn hơn. Tôi chủ yếu quan tâm đến các tài liệu tham khảo cùng thời hơn (ví dụ: những gì đã được biết đến vào khoảng năm 1976) và / hoặc bằng chứng chuyên biệt cho trường hợp tổng của căn bậc hai.

1. Garey, Michael R., Ronald L. Graham và David S. Johnson. " Một số vấn đề hình học hoàn chỉnh NP ." Kỷ yếu của hội nghị chuyên đề ACM hàng năm lần thứ tám về Lý thuyết điện toán. ACM, 1976.

2. Burnikel, Christoph, et al. " Một sự phân tách mạnh mẽ và dễ dàng tính toán ràng buộc cho các biểu thức số học liên quan đến các gốc tự do ." Thuật toán 27.1 (2000): 87-99.

Dưới đây là một bản phác thảo bằng chứng khá cẩu thả. Hãy $S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$ trong đó$\delta_i \in \{\pm 1\}$. Đây là một số đại số của mức độ nhiều nhất là$2^n$và chiều cao nhiều nhất là$H = (max(a_i))^{n}$. Bây giờ nó rất dễ dàng để kiểm tra nếu$S = 0$(có thể được thực hiện ngay cả trong$TC^0$- xemnày) .Nếu$S \neq 0$thì nó được bao bọc xa$0$bởi một số lượng (vì nó là một số đại số và do đó là một tổ chức phi zero gốc của một đa thức đơn biến) mà là một hàm của mức độ và chiều cao của đa thức tối thiểu của $S$ . Thật không may, sự phụ thuộc vào mức độ là hàm mũ trong số rễ vuông (và nếu $a_i$ 's là số nguyên tố khác nhau, mức độ này bị ràng buộc thậm chí còn chặt chẽ, dù rằng trường hợp đánh giá dấu hiệu rất dễ dàng để xử lý). Độ chính xác cần thiết là vì thế mũ trong số căn bậc hai, đó là $2^n$ -bit cho $S$ . Bây giờ nó đủ để cắt từng $\sqrt{a_i}$ để nói$2^{10n}$bit để đảm bảo dấu được đảm bảo là chính xác. Điều này được thực hiện dễ dàng thông qua nhiều bước lặp của Newton). Bây giờ, việc kiểm tra xem tổng có dương hay không, đó chỉ là phép cộng và do đó tuyến tính về số lượng bit trong các triệu hồi. Lưu ý rằng tính toán này là trong thời gian đa thức trên máy BSS. Cũng lưu ý rằng chúng tôi không thực hiện bất kỳ tính toán trực tiếp nào với đa thức tối thiểu củachính$S$, có thể có hệ số lớn và trông xấu, chúng tôi chỉ sử dụng nó để suy luận về độ chính xác mà chúng tôi cần để cắt các căn bậc hai. Để biết thêm chi tiết, kiểm tragiấy của Tiwari.