Khi chúng tôi đã tìm thấy giới hạn tốt hơn cho các thuật toán được biết đến?

Có các trường hợp thú vị của các thuật toán đã được xuất bản với các giới hạn đã được chứng minh, và các giới hạn tốt hơn sau đó đã được xuất bản không? Không phải là thuật toán tốt hơn với giới hạn tốt hơn - rõ ràng điều đó đã xảy ra! Nhưng phân tích tốt hơn dẫn đến một ràng buộc tốt hơn trên một thuật toán hiện có

Tôi nghĩ rằng phép nhân ma trận là một ví dụ về điều này, nhưng tôi đã tự nói về nó (có lẽ không chính xác!) Sau khi cố gắng hiểu Coppersmith Thẻ Winograd và những người bạn của nó tốt hơn.

Các Liên-Tìm thuật toán, mà Tarjan ¹ cho thấy có độ phức tạp $n \alpha(n)$ , nơi $\alpha(n)$ là nghịch đảo Ackermann chức năng, đã được phân tích trước đây của nhiều người. Theo Wikipedia, nó được phát minh bởi Galler và Fischer ² , nhưng điều này dường như không chính xác, vì họ không có tất cả các thành phần của thuật toán cần thiết để làm cho nó chạy nhanh.

Dựa trên các bản quét ngắn của các bài báo, có vẻ như thuật toán được phát minh bởi Hopcroft và Ullman ³ , người đã đưa ra một giới hạn thời gian (không chính xác) $O(n)$ . Fischer ⁴ sau đó tìm thấy lỗi trong chứng minh và đưa ra giới hạn thời gian $O(n \log\log n)$ . Tiếp theo, Hopcroft và Ullman ⁵ đưa ra giới hạn thời gian $O(n \log ^*n)$ , sau đó Tarjan ¹ tìm thấy giới hạn thời gian (tối ưu) $O(n \alpha(n))$ .

¹ RE Tarjan, "Hiệu quả của thuật toán hợp nhất tập hợp tốt nhưng không tuyến tính" (1975).
² BS Galler và MJ Fischer, "Một thuật toán tương đương được cải thiện" (1964).
³ JE Hopcroft và JD Ullman, "Thuật toán hợp nhất danh sách tuyến tính" (1971).
⁴ MJ Fischer, "Hiệu quả của các thuật toán tương đương" (1972).
⁵ JE Hopcroft và JD Ullman, "Thuật toán hợp nhất tập hợp" (1973).

Thuật toán của Paturi, Pudlák, Saks và Zane (PPSZ) cho $k\text{-} \mathrm{SAT}$ đã được biết là có thời gian chạy $O(1.364^n)$ cho $3\text{-}\mathrm{SAT}$ , với giới hạn tốt hơn là $O(1.308^n)$ cho các công thức đảm bảo có một bài tập thỏa mãn duy nhất. Sau đó, Hertli đã đưa ra một phân tích cải tiến cho thấy rằng giới hạn thời gian chạy được cải thiện này cũng phù hợp với trường hợp chung, do đó cho thấy PPSZ là thuật toán tốt nhất cho $3\text{-}\mathrm{SAT}$ được biết đến vào thời điểm đó.

Cuộc tấn công Logjam đề cập đến việc phân tích rây trường số chung (như được áp dụng để tính toán logarit rời rạc trên $\mathbb{F}_p$ ) bước chặt chẽ, xem trên cùng bên trái của trang thứ 3. Vì đây là bước duy nhất không thể tính toán trước (nếu $\mathbb{F}_p$ được cố định), hiệu quả của nó là công cụ để tấn công.

Các phân tích ban đầu dường như là trong Gordon 92 , nơi gốc đã được dự trù kinh phí tương tự như tính toán trước, tại $L_p(1/3, 3^{2/3})$ . Các phân tích chặt chẽ hơn có vẻ là từ luận án Bărbulescu của , nơi gốc được dự trù kinh phí tại $L_p(1/3, 1.232)$ , trong đó:

$k$$O(n^{k+o(1)})$$O(n^{2k-2})$$O(n^{1.98k+O(1)})$

$\Omega(n^k)$

Lưu ý: Có thể tìm thấy cuộc nói chuyện của Jason Li (và các slide tương ứng) trên trang web của TCS + .

$k$

$k$$(2k-1)$$k$

$3$ đưa ra một phân tích tinh tế hơn (đếm các bài toán con / cấu trúc con) dẫn đến sự tái phát tốt hơn và thời gian chạy tốt hơn. Tôi nghĩ rằng có một số ví dụ như vậy trong tài liệu về độ phức tạp được tham số hóa, trong đó việc thêm một biến khác vào phân tích có thể dẫn đến thời gian chạy được cải thiện, nhưng tôi đã rời khỏi trò chơi đó vài năm nay và tôi không thể nghĩ ra những cái cụ thể tại khoảnh khắc. Có một số bài báo trong lĩnh vực FPT và PTAS xuất hiện khi tìm kiếm "phân tích cải tiến" trong tiêu đề giấy.

Nếu chỉ định các lựa chọn được tính là cùng một thuật toán (như heuristic xếp hạng độ sâu tìm kiếm liên minh), thì thuật toán Edmonds-Karp là một 'phân tích được cải thiện' của Ford-Fulkerson, và tôi tưởng tượng có rất nhiều vấn đề khác có thuật toán đã thấy cải tiến thời gian chạy từ các quy tắc lựa chọn mới.

Sau đó, có một loạt các phân tích khấu hao của các thuật toán hiện có (tôi nghĩ rằng sự phù hợp tìm thấy theo mô tả này, đây là một https://link.springer.com/article/10.1007/s00453-004-1145-7 )