Sự phức tạp trong giao tiếp một cách ngẫu nhiên của sự rời rạc

Tôi đang tìm kiếm một tài liệu tham khảo cho sự phức tạp trong giao tiếp một cách ngẫu nhiên (cổ điển) một cách ngẫu nhiên khi vũ trụ có thể lớn. Giả sử Alice và Bob đều có bộ kích thước được chọn từ vũ trụ có kích thước và Bob muốn xác định xem giao điểm của bộ có trống hay không. Tôi muốn thăm dò lỗi , nói. $m$ $U$ $<1/3$

Tôi có thể tìm thấy giới hạn thấp hơn một chút của tiêu chuẩn và một số hoạt động về độ phức tạp trong giao tiếp hai chiều, nhưng có tham chiếu cho một cái gì đó chặt chẽ hơn cho một chiều không? $\Omega(m)$

EDIT: Tôi nên đã xác định rằng tôi quan tâm đến mô hình ngẫu nhiên riêng tư (không phải đồng tiền công khai).

— Raphael
nguồn

Là các bộ được chọn ngẫu nhiên, hay chỉ là chiến lược truyền thông?

— mjqxxxx

Sự ngẫu nhiên chỉ đề cập đến thực tế là Alice và Bob được phép sử dụng các bit ngẫu nhiên.

— Raphael

Bạn có thực sự xem xét giao tiếp một chiều (Alice gửi tin nhắn cho Bob, người sau đó đưa ra câu trả lời) hoặc liên lạc "đồng thời" (Alice và Bob mỗi người gửi tin nhắn cho một trọng tài thông báo câu trả lời.) Trong trường hợp trước đây là công khai và riêng tư tính ngẫu nhiên là như nhau và do đó, dường như các câu trả lời dưới đây (tức là blog của Mihai) giải quyết câu hỏi.

— Noam

Đây là trường hợp trước đây của giao tiếp một chiều khi bạn xác định nó mà tôi quan tâm. Tôi hy vọng điều gì đó chặt chẽ trong phạm vi đầy đủ của các kích cỡ vũ trụ. Nếu tôi hiểu chính xác, bài đăng của Mihai cung cấp cho chúng tôi giới hạn trên của và chúng tôi có giới hạn dưới của vẫn để lại một khoảng trống.

O (m \log m + \log U)

$O(m \log{m} + \log{U})$

min ((\binom{U}{m}), m \log m)

$\min(\binom{U}{m}, m\log{m})$

— Raphael

Ý tôi là tất nhiên.

Ω (min (\log (\binom{U}{m}), m \log m))

$\Omega(\min(\log{\binom{U}{m}}, m\log{m}))$

— Raphael

Câu trả lời:

Câu trả lời là . Trong mô hình tiền công khai, chúng ta có (như được mô tả ở trên) . Như Yuval đã đề xuất ở trên, đối với giới hạn trên trong mô hình tiền riêng, chúng ta chỉ cần một bit (xem định lý 3.14 trong sách K & N ) , trong đó là độ dài mã hóa của đầu vào ( ). Đối với giới hạn dưới bổ sung của trong mô hình đồng tiền riêng, đủ để tập trung vào trường hợp (vì các mục khác có thể được sửa thành khác nhau), đó là chỉ hàm bình đẳng trên $\Theta(m\log m + \log\log |U|)$ $\Theta(m\log m)$ $O(\log n)=O(\log m + \log\log |U|)$ $n$ $n=m\log|U|$ $\Omega(\log\log |U|)$ $m=1$ $\log |U|$ chuỗi -bit, có độ phức tạp của đồng tiền riêng là logarit trong đó (ví dụ 3.9 trong K & N).

— Buổi sáng
nguồn

Cảm ơn, tuy nhiên, chúng tôi cũng không cần phải so sánh nó với nhỏ hơn tùy thuộc vào cách liên quan đến . Trong trường hợp cực đoan, nếu , Alice không cần nói nhiều.

\log (\binom{U}{m})

$\log {\binom{U}{m}}$

m \log m

$m\log{m}$

U

$U$

m

$m$

U = m

$U=m$

— Raphael

vâng, đây là lớn (ít nhất là ), nếu không thì giới hạn dưới được đề cập trong bài đăng của Mihai không thành công.

U

$U$

m^{1 + ϵ}

$m^{1+\epsilon}$

— Noam

điều này giải quyết câu hỏi :-)

— Marcos Villagra

Btw, tôi luôn muốn hỏi bạn, tại sao giới hạn chung của có trong sách K & N? Nó sẽ tự động ngụ ý những thứ như định lý 3.9.

\log \log | X | \leq R (f)

$\log \log |X| \le R(f)$

— domotorp

Được biết / rõ ràng rằng có chặt chẽ đối với kích thước vũ trụ nhỏ hơn không? Ví dụ: giả sử .

\log (\binom{U}{m})

$\log{\binom{U}{m}}$

U = m \log m

$U = m \log{m}$

— Raphael

Đối với bất kỳ số vòng nào, giới hạn dưới của sự khác biệt là (xem Độ phức tạp giao tiếp xác suất của giao lộ tập hợp. SIAM J. Toán rời rạc. Tập 5, Số 4, trang 545-557 (tháng 11 năm 1992) ) . $\Omega(n)$

Đối với 1 chiều, Kremer, Nisan và Ron đã chỉ ra rằng với mọi , , trong đó là ngẫu nhiên 1- độ phức tạp trong giao tiếp của với lỗi và là kích thước VC của . Khi đó ta có . Nhưng trên thực tế, có một giới hạn chặt chẽ hơn đối với DISJ, đó là (xem blog của Mihai Patrascu ). $f$ $R_\epsilon^1(f)=\Omega(VC(f))$ $R_\epsilon^1(f)$ $f$ $\epsilon$ $VC(f)$ $f$ $VC(DISJ)=n$ $\Omega(n\log n)$

— Marcos Villagra
nguồn

Blog của Mihai Patrascu nói rằng có thể đạt được ngay cả đối với các vũ trụ lớn với việc sử dụng hàm băm phổ quát. Điều này có ý nghĩa nếu Alice và Bob có một nguồn ngẫu nhiên chung; Nhưng nếu họ có nguồn độc lập, Alice không phải nói với Bob rằng cô ấy đang sử dụng hàm băm nào? Mất bao nhiêu không gian?

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— mjqxxxx

Có một mẹo cho thấy tính ngẫu nhiên công khai cũng giống như tính ngẫu nhiên riêng tư: sử dụng ràng buộc Chernoff để chỉ ra rằng tồn tại một không gian mẫu có kích thước đa thức [trong logarit của số lượng đầu vào có thể] xấp xỉ xác suất thành công "đủ" trên tất cả các đầu vào; Alice chọn một trong những điểm này và gửi chỉ số có kích thước logarit của nó cho Bob. Thủ thuật này không áp dụng trực tiếp trong trường hợp này (vì có vô số đầu vào), nhưng nó có thể được điều chỉnh một cách hợp lý bằng cách nào đó.

— Yuval Filmus

Cảm ơn! Tôi nên đã chỉ định ngẫu nhiên riêng tư trong câu hỏi. Đang sửa ngay bây giờ.

— Raphael

Độ phức tạp ngẫu nhiên của đồng tiền riêng (một và hai chiều) của hàm BẤT K ít nhất là, vì vậy, ví dụ trong trường hợp của bạn ít nhất là , đó sẽ là nếu nhỏ, có thể cho giới hạn dưới tốt hơn. Kết quả này được đề cập trong bài báo chuyên đề của Yao về CC, bạn có thể tìm thấy bằng chứng trong luận án thạc sĩ của tôi, bổ đề 3,8 và xung quanh: http://www.cs.elte.hu/~dom/cikkek/szakdolgozat.pdf $\log \log |\text{size}|$ $\log \log {U \choose m}$ $\log \log U$ $m$

Tất nhiên đây chỉ là một giới hạn thấp hơn, có lẽ họ là một kết hợp trên ràng buộc như . $m + \log \log U$

— động vật
nguồn