Một trò chơi trên một số biểu đồ

Hãy xem xét trò chơi sau đây trên đồ thị có trọng số $G$ với một con chip tại một số nút.

Tất cả các nút của $G$ được đánh dấu bởi A hoặc B.

Có hai người chơi Alice và Bob. Mục tiêu của Alice (Bob) là chuyển chip sang một nút được đánh dấu bởi A (B).

Ban đầu Alice và Bob có $m_A$ và $m_B$ đô la tương ứng.

Nếu người chơi ở vị trí bị mất (nghĩa là vị trí hiện tại của chip được đánh dấu bằng chữ ngược lại) thì người đó có thể di chuyển chip sang nút lân cận. Di chuyển như vậy chi phí một số đô la (trọng lượng của cạnh tương ứng).

Người chơi thua nếu ở vị trí thua và không có tiền để sửa.

Bây giờ hãy xem xét TRÒ CHƠI ngôn ngữ bao gồm tất cả các đồ thị có trọng số $G$ (tất cả các trọng số là số nguyên dương), vị trí ban đầu của chip và chữ hoa của Alice và Bob được đưa ra trong biểu diễn đơn nhất

đến nỗi Alice có một chiến lược chiến thắng tại trò chơi này.

Các trò chơi ngôn ngữ thuộc về P . Thật vậy, vị trí hiện tại của trò chơi được xác định bởi vị trí của con chip và thủ đô hiện tại của Alice và Bob, vì vậy lập trình động hoạt động (ở đây điều quan trọng là các chữ viết hoa ban đầu được đưa ra trong biểu diễn đơn nhất).

Bây giờ hãy xem xét khái quát sau đây của trò chơi này. Xem xét một số đồ thị có trọng đạo $G_1, \ldots G_n$ với một chip ở mỗi đồ thị. Tất cả các nút của tất cả các đồ thị được đánh dấu bởi A và B. Bây giờ Bob thắng nếu tất cả các chip được đánh dấu bởi B và Alice thắng nếu có ít nhất một chip được đánh dấu bởi A.

Hãy xem xét các ngôn ngữ MULTI-GAME mà bao gồm tất cả các đồ thị $G_1, \ldots, G_n$ , vị trí ban đầu và thủ đô $m_A$ và $m_B$ (trong các đại diện unary) sao cho Alice thắng tại các trò chơi tương ứng. Ở đây, điều quan trọng là thủ đô là phổ biến cho tất cả các biểu đồ, vì vậy, nó không chỉ là một số TRÒ CHƠI độc lập.

Câu hỏi Sự phức tạp của ngôn ngữ MULTI-GAME là gì? (Có phải nó cũng thuộc về P hoặc có một số lý do cho rằng vấn đề này khó khăn không?)

CẬP NHẬT1 Neal Young đề nghị sử dụng lý thuyết của Conway. Tuy nhiên tôi không biết có thể sử dụng lý thuyết này cho một số trò chơi có vốn chung hay không.

CẬP NHẬT2 Tôi muốn đưa ra một ví dụ cho thấy MULTI-GAME không đơn giản lắm. Hãy Alice chia cô vốn $m_A$ với một số $n$ về $m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ (Cô sẽ sử dụng $a_i$ đô la cho $i$ -thứ biểu đồ). Xác định $b_i$ là số tối thiểu sao cho trong trò chơi thứ $i$ Bob thắng nếu Alice và Bob có lần lượt $a_i$ và $b_i$ đô la. Nếu $b_1 + \ldots b_n > m_B$ (đối với một số spliting$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ ) sau đó chiến thắng Alice. Tuy nhiên, điều ngược lại là không đúng sự thật. Hãy xem xét hai bản sao của biểu đồ sau (ban đầu chip nằm ở bên trái A):

Đối với một đồ thị, Bob thắng nếu $m_A=0$ và $m_B=2$ hoặc nếu $m_A=1$ và $m_B=3$ . Tuy nhiên, đối với trò chơi có hai bản sao của biểu đồ này, Bob sẽ thua nếu $m_A=1$ và $m_B=5$ . Thật vậy, Bob phải mất $4$ hoặc $5$ đô la để chuyển cả chip để một nút đánh dấu bằng $B$ . Sau đó Alice có thể chuyển ít nhất một con chip sang một nút được đánh dấu bởi A. Sau đó, Bob không có tiền để cứu vị trí của mình.

CẬP NHẬT3 Vì câu hỏi cho các biểu đồ tùy ý có vẻ khó xem xét các biểu đồ cụ thể. Biểu thị các nút của một số đồ thị $G_i$ như $1, \ldots k$ . Hạn chế của tôi là như sau: với mỗi cặp $i<j$ tồn tại cạnh từ $i$ đến $j$ và không có cạnh ngược. Ngoài ra còn tồn tại một hạn chế về chi phí của các cạnh: với $i<j<k$ thì cạnh $j$ đến $k$ không lớn hơn từ $i$ đến $k$ .

Cập nhật: có thể không chính xác, để lại bây giờ là một bản ghi của việc khám phá một đại lộ. Xem ý kiến.

Cập nhật 2: chắc chắn không chính xác.

$G = (V, E)$$V = \{1, 2, 3\}$$E = \{(1, 2), (2, 3)\}$

$m_A = m_B = 2$$G_1 = G_2 = G_3 = G$

$M[3,2,2]$$2-u, u$$v, 2 - v$$M[2, 2 - u, 2 - v] = B$$W[3, u, v] = B$$u = 1$$u = 2$$M[2, 2 - u, 2] = A$$u = 0$$W[3, u, 2] = A$

$u$$v$

$m_A, m_B, G_1, \dots, G_n,$

Tính toán trước

$W[k, x, y] = \begin{cases}A & \text{if Alice wins GAME on $G_k$ with initial funds $x$ for Alice and $y$ for Bob,} \\ B & \text{otherwise}\end{cases}$

$x \le m_A$$y \le m_B$

$M[k, x, y]$$k$$x \le m_A$$y \le m_B$$M[k, x, y] = B$$A$

$M[1, x, y] = W[1, x, y]$

và

$M[k+1, x, y] = B \quad\text{if and only if}\quad \exists v \forall u, W[k+1, u, v] = B \:\:\text{and}\:\: M[k, x-u, y-v] = B.$

$M[n, m_A, m_B] = A$

$[n]$$n+1$$n\ldots 0$$i+1$$i$$0\leq i\lt n$$0$$0$$n$$[n]$$\geq n$$0$$0$

$G$$\alpha$$\beta$$\alpha$$[i]$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$j\lt k$$\alpha$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$[k]$$[i]$$\{i\mid\{j\mid k\}\}$