Làm thế nào nhanh chóng chúng ta có thể giải quyết một chương trình tuyến tính số nguyên hoàn toàn không cân bằng?

(Đây là phần tiếp theo của câu hỏi này và câu trả lời của nó .)

Tôi có chương trình tuyến tính số nguyên (TU) hoàn toàn đơn phương (TU) sau đây. Dưới đây là tất cả các số nguyên dương được cho là một phần của đầu vào. Một tập hợp con được chỉ định của các biến x i j được đặt thành 0 và phần còn lại có thể lấy các giá trị tích phân dương:$\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

Giảm thiểu

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

Theo:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

Ma trận hệ số của mẫu là một ma trận với mục từ - 1 , 0 , 1 .$(2\ell+m)\times \ell m$${-1,0,1}$

Câu hỏi của tôi là:

Các giới hạn trên tốt nhất được biết đến trong thời gian chạy các thuật toán đa thức thời gian giải một ILP như vậy là gì? Bạn có thể chỉ cho tôi một số tài liệu tham khảo về điều này?

Tôi đã thực hiện một số tìm kiếm, nhưng tại hầu hết các nơi họ dừng lại khi nói rằng TU ILP có thể được giải quyết trong thời gian đa thức bằng thuật toán thời gian đa thức cho LP. Một điều có vẻ hứa hẹn là một bài báo năm 1986 của Tardos [1] trong đó cô chứng minh rằng các vấn đề như vậy có thể được giải quyết trong đa thức thời gian theo kích thước của ma trận hệ số. Tuy nhiên, theo như tôi có thể tìm ra từ bài báo, thời gian chạy của thuật toán đó phụ thuộc lần lượt vào thời gian chạy của thuật toán thời gian đa thức để giải LP.

Chúng ta có biết các thuật toán giải quyết trường hợp đặc biệt này (của TU ILP) nhanh hơn đáng kể so với các thuật toán chung giải quyết vấn đề LP không?

Nếu không,

Thuật toán nào cho LP sẽ giải quyết ILP nhanh nhất (theo nghĩa tiệm cận)?

[1] Một thuật toán đa thức mạnh mẽ để giải các chương trình tuyến tính tổ hợp, Eva Tardos, Research Research 34 (2), 1986

Tôi tin rằng Trên một lớp các ma trận hoàn toàn không có hình dạng , bởi Yannakakis, đưa ra câu trả lời cho câu hỏi của bạn cho một trường hợp đặc biệt của TU ILP (bất cứ khi nào không có chu kỳ lẻ trong biểu đồ lưỡng cực thu được bằng cách xem ma trận hệ số là ma trận kề).

Trong bài báo đó có đề cập đến các thuật toán đa thức cho một lớp chương trình tuyến tính , dường như xử lý tất cả các ma trận hoàn toàn không cân bằng, nhưng tôi không chắc về hiệu quả của nó so với các thuật toán chung cho LP.

$O([n^3/\ln n]L)$

Người ta đã chứng minh rằng LP hoàn toàn không cân bằng có thể giải quyết được trong thời gian đa thức mạnh theo "giả định thoái hóa" - liên kết ở đây (do đó nếu ILP có công thức Totim Unimodular (TU) với cùng một giả định thì thuật toán này sẽ giải quyết một TU ILP, trong thuật toán này thời gian đa thức mạnh mẽ. Đây là một sự phát triển từ các phương pháp của Tardos, và ngụ ý các giới hạn chặt chẽ hơn đối với công thức ILP của TU (Totally Unimodular).