Kỹ thuật đảo ngược trật tự lượng tử

Người ta biết rằng nói chung, thứ tự của các bộ lượng tử phổ và tồn tại không thể đảo ngược. Nói cách khác, đối với một công thức logic chung $\phi(\cdot,\cdot)$ ,

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

Mặt khác, chúng ta biết phía bên tay phải hạn chế hơn phía bên trái; nghĩa là, .$(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$

Câu hỏi này tập trung vào các kỹ thuật để rút ra , bất cứ khi nào nó giữ cho .$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$$\phi(\cdot,\cdot)$

Đường chéo là một trong những kỹ thuật như vậy. Lần đầu tiên tôi thấy cách sử dụng đường chéo này trong bài báo Tương đối hóa của Câu hỏi$\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ (xem thêm ghi chú ngắn của Katz ). Trong bài báo đó, trước tiên các tác giả chứng minh rằng:

Đối với bất kỳ máy tiên tri thời gian xác định, đa thức M, tồn tại một ngôn ngữ B sao cho .$L_B \ne L(M^B)$

Sau đó, họ đảo ngược thứ tự của các bộ lượng hóa (sử dụng đường chéo ), để chứng minh rằng:

Có tồn tại một ngôn ngữ B như vậy mà cho tất cả xác định, poly-time M chúng tôi có .$L_B \ne L(M^B)$

Kỹ thuật này được sử dụng trong các bài báo khác, chẳng hạn như [CGH] và [AH] .

Tôi tìm thấy một kỹ thuật khác trong chứng minh Định lý 6.3 của [IR] . Nó sử dụng kết hợp lý thuyết đo lường và nguyên lý lỗ chim bồ câu để đảo ngược thứ tự của các bộ lượng hóa.

Tôi muốn biết những kỹ thuật khác được sử dụng trong khoa học máy tính, để đảo ngược thứ tự của các bộ lượng tử phổ quát và hiện sinh?

Sự đảo ngược của định lượng là một tính chất quan trọng thường đứng sau các định lý nổi tiếng.

Ví dụ: trong phân tích sự khác biệt giữa và là sự khác biệt giữa liên tục theo chiều và đồng nhất . Một định lý nổi tiếng nói rằng mọi bản đồ liên tục theo chiều đều đều liên tục, với điều kiện miền là tốt, tức là nhỏ gọn .∀ ε > 0 . ∃ δ > 0 . ∀ $\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

Trong thực tế, sự nhỏ gọn là trung tâm của sự đảo ngược định lượng. Hãy xem xét hai kiểu dữ liệu và trong đó là công khai và là nhỏ gọn (xem dưới đây để giải thích về những điều khoản này), và để cho là một mối quan hệ semidecidable giữa và . Câu lệnh có thể được đọc như sau: mọi điểm trong được bao phủ bởi một số . Vì các tập hợp là "mở tính toán" (có thể bán được) vàY X Y φ ( x , y ) X Y ∀ y : Y . ∃ x : X . φ ( x , y ) y Y U x = { z : Y | φ ( x , z ) } U x Y ∀ y : Y . ∃ x : X . ϕ ( $X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$là nhỏ gọn có tồn tại một tiểu mục hữu hạn. Chúng tôi đã chứng minh rằng ngụ ý Thông thường chúng ta có thể giảm sự tồn tại của danh sách hữu hạn thành một đơn . Ví dụ: nếu được sắp xếp theo thứ tự tuyến tính và là đơn điệu theo đối với thứ tự thì chúng ta có thể lấy là số lớn nhất của .∃ x 1 , ... , x n : X . ∀ y : Y . φ ( x 1 , y ) ∨ ⋯ ∨ φ ( x n , y ) . x 1 , ... , x n x X φ x x x 1 , ... , x

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

Để xem nguyên tắc này được áp dụng như thế nào trong một trường hợp quen thuộc, chúng ta hãy xem câu lệnh là một hàm liên tục. Chúng tôi giữ dưới dạng biến miễn phí để không bị nhầm lẫn về một bộ định lượng phổ quát bên ngoài: Vì nhỏ gọn và so sánh thực tế là có thể bán được, nên câu lệnh có thể bán được. Các thực dương là quá mức và là nhỏ gọn, vì vậy chúng ta có thể áp dụng nguyên tắc: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$φ ( δ , x ) δ δ 1 , ... , δ n $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ Vì là antimonotone trong là nhỏ nhất trong thực hiện công việc rồi, nên chúng tôi chỉ cần một : Những gì chúng ta có là sự liên tục thống nhất của .$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

Nói một cách mơ hồ, một kiểu dữ liệu là nhỏ gọn nếu nó có một bộ định lượng phổ quát tính toán và công khai nếu nó có một bộ định lượng tồn tại có thể tính toán được. Các số nguyên (không âm) bị đảo ngược vì để bán chính xác cho dù , với bán được, chúng tôi thực hiện tìm kiếm song song bằng cách khớp . Không gian Cantor nhỏ gọn và công khai, như được giải thích bởi Tóm tắt Đá kép của Paul Taylor và " Cấu trúc liên kết tổng hợp các kiểu dữ liệu và không gian cổ điển " của Martin Escardo (cũng xem khái niệm liên quan về không gian có thể tìm kiếm ).$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

Hãy để chúng tôi áp dụng nguyên tắc cho ví dụ bạn đề cập. Chúng tôi xem một ngôn ngữ dưới dạng bản đồ từ các từ (hữu hạn) trên một bảng chữ cái cố định đến các giá trị boolean. Vì các từ hữu hạn nằm trong sự tương ứng từ tính toán có thể tính toán với các số nguyên, chúng tôi có thể xem một ngôn ngữ dưới dạng bản đồ từ các số nguyên đến các giá trị boolean. Đó là, kiểu dữ liệu của tất cả các ngôn ngữ, theo cấu trúc đẳng cấu tính toán, chính xác là không gian Cantor nat -> boolhoặc trong ký hiệu toán học , nhỏ gọn. Một máy Turing có thời gian đa thức được mô tả bởi chương trình của nó, đó là một chuỗi hữu hạn, do đó, không gian của tất cả (đại diện) máy Turing có thể được sử dụng để hoặc , bị lật.$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

Cho một máy Turing và một ngôn ngữ , câu lệnh nói rằng "ngôn ngữ bị từ chối bởi " là có thể xác định được vì thực tế nó có thể quyết định được: chỉ cần chạy với đầu vào và xem những gì nó làm Các điều kiện cho nguyên tắc của chúng tôi được thỏa mãn! Câu lệnh "mọi máy tiên tri đều có ngôn ngữ sao cho không được chấp nhận " được viết một cách tượng trưng là Sau khi đảo ngược số lượng, chúng tôi nhận được $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ Ok, vì vậy chúng tôi xuống rất nhiều ngôn ngữ. Chúng ta có thể kết hợp chúng thành một không? Tôi sẽ để nó như một bài tập (cho bản thân tôi và bạn!).

Bạn cũng có thể quan tâm đến câu hỏi chung chung hơn một chút về cách chuyển đổi thành một câu lệnh tương đương có dạng hoặc ngược lại. Có một số cách để làm điều này, ví dụ:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• Skolem dạng bình thường ,
• Herbrand dạng bình thường ,
• Giải thích chức năng của Gôdel .

Bổ đề lõi cứng của Impagliazzo cho phép bạn chuyển đổi các bộ định lượng trong bối cảnh giả định độ cứng tính toán. Đây là bài báo gốc . Bạn có thể tìm thấy hàng tấn giấy tờ và bài viết liên quan của Googling.

Bổ đề nói rằng nếu với mọi thuật toán A tồn tại một tập hợp lớn các đầu vào mà A không tính được hàm cố định f, thì thực tế tồn tại một tập hợp lớn các đầu vào mà mọi thuật toán không tính được f với xác suất gần bằng 1 / 2.

Bổ đề này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý min-max hoặc boosting (một kỹ thuật từ lý thuyết học tính toán), cả hai đều là ví dụ về chuyển đổi lượng tử.

Đối với tôi, bằng chứng "chính tắc" của định lý Karp-Lipton (rằng ) có hương vị này. Nhưng ở đây không phải là tuyên bố định lý thực tế trong đó các bộ lượng tử bị đảo ngược, mà là "bộ lượng hóa" bị đảo ngược trong mô hình tính toán xen kẽ, sử dụng giả định rằng có các mạch nhỏ.$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

Bạn muốn mô phỏng một tính toán của mẫu

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

Trong đó là một vị từ thời gian đa thức. Bạn có thể làm điều này bằng cách đoán một mạch nhỏ cho (nói) thỏa đáng, sửa đổi để nó tự kiểm tra và tạo ra một phép gán thỏa mãn khi đầu vào của nó thỏa đáng. Sau đó, với tất cả , tạo một thể hiện SAT tương đương với và giải quyết nó. Vì vậy, bạn đã tạo ra một tính toán tương đương của mẫu$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ là thỏa đáng theo .$C]$

Việc sử dụng cơ bản của liên kết bị ràng buộc trong phương pháp xác suất có thể được hiểu là một cách để đảo ngược thứ tự của các bộ lượng hóa. Mặc dù điều này đã được đề cập trong câu hỏi ngầm bởi vì bằng chứng của Impagliazzo và Rudich là một ví dụ về điều này, tôi nghĩ rằng nó đáng để nói rõ hơn.

Giả sử X là hữu hạn và với mọi x ∈ X , chúng ta biết không chỉ một số y ∈ Y thỏa mãn φ ( x , y ) mà còn nhiều lựa chọn của y ∈ Y thỏa mãn φ ( x , y ). Chính thức, giả sử rằng chúng ta biết ( x ∈ X ) Pr _{y ∈ Y} [￢φ ( x , y )] <1 / | X | đối với một số biện pháp xác suất trên Y. Sau đó, đoàn kết cho phép chúng ta kết luận Pr _{y ∈ Y} [(∃ x ∈ X ) ¬ φ ( x , y )] <1, tương đương với (∃ y ∈ Y ) (∀ x ∈ X ) φ ( x , y ).

Có các biến thể của lập luận này:

1. Nếu X là vô hạn, chúng ta có thể đôi khi rời rạc hóa X bằng cách xem xét một thước đo phù hợp trên X và một ε -net của nó. Sau khi rời rạc X , chúng ta có thể sử dụng liên kết ràng buộc như trên.

2. Khi sự kiện φ ( x , y ) cho các giá trị khác nhau của x là gần như độc lập, chúng ta có thể sử dụng Lovász địa phương Bổ đề thay vì đoàn kết.

Tôi muốn thêm một số kỹ thuật khác. Mặc dù hai kỹ thuật đầu tiên không chính xác để đảo ngược thứ tự của các bộ lượng tử phổ và tồn tại, chúng có hương vị rất giống nhau. Do đó, tôi đã nhân cơ hội này để mô tả chúng ở đây:

Bổ đề trung bình: Được sử dụng để chứng minh và nhiều định lý thú vị khác. Một cách không chính thức , giả sử rằng biểu thị bộ thuê bao cho một số thư viện, biểu thị bộ sách trong thư viện và đối với và , mệnh đề là thuê bao đúng thích cuốn sách . " Bổ đề trung bình nói rằng: nếu với mỗi , tồn tại ít nhất 2/3 số trong sao cho giữ, thì tồn tại một$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$, Như vậy mà cho ít nhất 2/3 's trong , các đề xuất nắm giữ. (Điều này có thể dễ dàng được chứng minh thông qua reductio ad absurdum và một đối số đếm.)$s$$S$$\phi(s,b)$

Bây giờ hãy , và để cho là một máy PPT mà quyết định . Giả sử thời gian chạy của được giới hạn bởi một đa thức . Sau đó, với mọi và trong ít nhất 2/3 của , , nó giữ rằng . Ở đây, là máy trong đó sử dụng tính ngẫu nhiên và là chức năng đặc trưng của . Bổ đề trung bình sau đó được sử dụng để chỉ ra rằng với mọi$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$, tồn tại một , sao cho ít nhất 2/3 của độ dài , . đơn này hoạt động như một lời khuyên cho , và do đó, .$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

Trao đổi bổ đề: Zachos và Fürer đã giới thiệu một bộ định lượng xác suất mới (có nghĩa là "hầu hết"). Họ đã chứng minh rằng (bỏ qua chi tiết):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

Lưu ý rằng đây là một định lý logic bậc hai.

Sử dụng bổ đề hoán đổi, họ đã chứng minh một số định lý thú vị, chẳng hạn như định lý BPP và định lý của Babai . Tôi giới thiệu bạn đến bài báo gốc để biết thêm thông tin.$MA \subseteq AM$

Một định lý tương tự như Karp-Lipton lý nêu tại Ryan Williams bài: .$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$