Các vấn đề tối ưu hóa MSOL trên đồ thị của cliquewidth giới hạn, với các vị từ cardinality

CMSOL đang đếm logic thứ tự đơn thứ hai, tức là logic của đồ thị trong đó miền là tập hợp các đỉnh và cạnh, có các biến vị ngữ cho sự điều chỉnh đỉnh-đỉnh và tỷ lệ đỉnh-đỉnh, có định lượng trên các cạnh, đỉnh, bộ cạnh và đỉnh bộ, và có một vị ngữ n , p ( S ) biểu thị kích thước của có phải là modulo .$\textrm{Card}_{n,p}(S)$n $S$$n$$p$

Định lý nổi tiếng Courcelle của tiểu bang rằng nếu là một tài sản của đồ thị thể biểu diễn trong CMSOL thì cứ mỗi đồ thị của treewidth tại hầu hết nó có thể được quyết định trong thời gian tuyến tính cho dù nắm giữ, với điều kiện là một phân hủy cây của được đưa ra trong đầu vào. Các phiên bản sau của định lý đã bỏ yêu cầu phân tách cây được đưa ra trong đầu vào (bởi vì người ta có thể tính toán với thuật toán của Bodlaender ) và cũng cho phép tối ưu hóa thay vì chỉ quyết định; tức là đã cho một công thức MSOL chúng ta cũng có thể tính toán tập lớn nhất hoặc nhỏ nhất thỏa mãn .G k Π G φ ( S ) S φ ( S $\Pi$$G$$k$$\Pi$$G$$\phi(S)$$S$$\phi(S)$

Câu hỏi của tôi liên quan đến việc điều chỉnh định lý của Courcelle với các đồ thị của cliquewidth. Có một định lý tương tự nói rằng nếu bạn có MSOL1 cho phép định lượng trên các đỉnh, cạnh, tập đỉnh nhưng không đặt tập hợp cạnh thì đưa ra biểu đồ của cliquewidth k (với biểu thức clique đã cho), với mọi k cố định có thể được quyết định trong thời gian tuyến tính cho dù đồ thị G thỏa mãn một số công thức MSOL1 φ ; tất cả các tài liệu tham khảo tôi đã thấy điểm$G$$k$$k$$G$$\phi$

Các vấn đề tối ưu hóa có thể giải quyết được theo thời gian tuyến tính trên các đồ thị về độ rộng giới hạn theo chiều rộng của Courcelle, Makowsky và Rotics, Lý thuyết về các hệ thống máy tính, 2000.

Tôi đã cố gắng đọc bài báo, nhưng nó không khép kín đối với định nghĩa chính xác của MSOL1 và thật sự rất khó đọc. Tôi có hai câu hỏi liên quan đến chính xác những gì có thể tối ưu hóa trong FPT, được tham số hóa bởi độ chính xác của biểu đồ, nếu một biểu thức phân cụm được đưa ra trong đầu vào.

• MSOL1 có cho phép vị từ để kiểm tra kích thước của một số modulo đã đặt không?$\textrm{Card}_{n,p}(S)$
• Là nó có thể tìm thấy một tối thiểu / tối đa kích thước bộ mà đáp ứng một MSOL1 công thức φ ( S ) tại FPT tham số bởi cliquewidth, khi khái niệm được đưa ra?$S$$\phi(S)$

Đối với cả hai câu hỏi này, tôi cũng muốn biết những gì các tài liệu tham khảo chính xác được trích dẫn khi yêu cầu những kết quả này. Cảm ơn trước!

Sau khi hỏi thêm một chút, có vẻ như câu trả lời cho 1) và 2) đều CÓ. Tối ưu hóa tính chính xác của một bộ có thể có trong LinEMSOL (như Martin Lackner đã đề cập); như tôi đã nói, sự tồn tại của các vị từ cardinality không có vấn đề gì vì chúng có thể được xử lý hiệu quả bằng các máy tự động cây trạng thái hữu hạn, nên tuân theo (rõ ràng hơn trong bài viết được tham chiếu ban đầu) từ On parse tree và Myhill-Nerode- loại công cụ để xử lý đồ thị của chiều rộng xếp hạng giới hạn .

http://www.labri.fr/perso/courcell/Textes1/BC-Makowsky-Rotics(2000).pdf (là bài báo bạn đã đề cập nhưng là phiên bản dễ đọc hơn) định nghĩa LinEMSOL (Định nghĩa 10). LinEMSOL cho phép các vấn đề tối ưu hóa MSO1 và Định lý 4 nói rằng các vấn đề như vậy có thể điều chỉnh tham số cố định liên quan đến chiều rộng clique. Vì vậy, câu trả lời cho viên đạn / câu hỏi thứ hai của bạn nên có.

Liên quan đến viên đạn đầu tiên: Trong "Vertex-minors, logic thứ hai đơn âm và phỏng đoán của Seese" của Bruno Courcelle và Sang-il Oum, các tác giả viết rằng "Có thể chứng minh rằng không có công thức MS (X) nào có thể diễn đạt , trong mọi cấu trúc, một tập hợp X có số lượng thẻ chẵn [10] "trong đó [10] =" Courcelle, Logic thứ hai đơn phương của đồ thị "

Mong rằng sẽ giúp