Người thân của hoàng cung

Hãy xem xét một đồ thị vô hướng được kết nối với trọng số cạnh không âm và hai đỉnh phân biệt . Dưới đây là một số vấn đề về đường dẫn là tất cả các dạng sau: tìm đường dẫn , sao cho một số chức năng của trọng số cạnh trên đường dẫn là tối thiểu. Theo nghĩa này, tất cả họ là "người thân" của vấn đề con đường ngắn nhất; trong hàm sau chỉ đơn giản là tổng.$s,t$$s-t$

Lưu ý: Chúng tôi đang tìm kiếm các đường dẫn đơn giản, nghĩa là không có bất kỳ đỉnh lặp lại nào. Vì tôi không tìm thấy tên tiêu chuẩn cho những vấn đề này trong tài liệu, tôi tự đặt tên cho chúng.

Đường dẫn có khoảng cách trọng lượng tối thiểu: tìm đường dẫn , sao cho chênh lệch giữa trọng số cạnh lớn nhất và nhỏ nhất trên đường dẫn là tối thiểu.$s-t$

Đường dẫn trơn tru nhất: tìm đường dẫn , sao cho kích thước bước lớn nhất trên đường dẫn là tối thiểu, trong đó kích thước bước là giá trị tuyệt đối của chênh lệch trọng lượng giữa hai cạnh liên tiếp .$s-t$

Đường dẫn có độ cao tối thiểu: Chúng ta hãy xác định độ cao của đường dẫn bằng tổng kích thước bước dọc theo đường dẫn (xem định nghĩa về kích thước bước ở trên). Tìm một con đường với độ cao tối thiểu.$s-t$

Đường dẫn có trọng số nguyên tố tối thiểu: giả sử rằng tất cả các trọng số cạnh là số nguyên dương, tìm đường đi , sao cho trọng số của nó là số nguyên tố. Nếu có một con đường như vậy, hãy tìm một con có trọng lượng nguyên tố nhỏ nhất có thể.$s-t$

Câu hỏi: những gì được biết về những vấn đề đường dẫn? .

Lưu ý: thật thú vị, chẳng hạn, trong khi tổng trọng số rất dễ giảm thiểu (đó là vấn đề đường đi ngắn nhất cổ điển), nhưng giảm thiểu mức trung bình liên quan chặt chẽ của các trọng số trên đường là NP-hard. (Gán trọng lượng từ 2 đến tất cả các cạnh sự cố để và , và trọng lượng từ 1 tới tất cả những người khác. Sau đó, một con đường trọng lượng trung bình tối thiểu sẽ là một dài nhất đường dẫn).$s$$t$$s-t$

Đây là một câu trả lời cho vấn đề đầu tiên:

Đường dẫn có khoảng cách trọng lượng tối thiểu: tìm đường dẫn , sao cho chênh lệch giữa trọng số cạnh lớn nhất và nhỏ nhất trên đường dẫn là tối thiểu.$s-t$

Một bài báo từ năm 1984 cho thấy rằng bất cứ khi nào chúng ta có thể quyết định tính khả thi (có tồn tại một giải pháp trong trường hợp không trọng số) cho một số vấn đề tối ưu hóa tổ hợp trong thời gian đa thức, thì chúng ta cũng có thể tìm thấy trong thời gian đa thức một giải pháp giảm thiểu sự khác biệt giữa lớn nhất và nhỏ nhất hệ số chi phí (trong trường hợp có trọng số):

S. Martello, WR Pulleyblank, P. Toth, D. de Werra Các
vấn đề tối ưu hóa cân bằng
Các hoạt động nghiên cứu Thư 3, 1984, Trang 275-278

Điều này ngụ ý một thuật toán thời gian đa thức cho câu hỏi của bạn.

Đường dẫn có khoảng cách trọng lượng tối thiểu : Điều này có thể được giải quyết kịp thời , trong đólà số cạnh (giả sử ít nhất là tuyến tính theo số đỉnh). Bạn có thể lặp qua trọng lượng tối thiểu và thực hiện tìm kiếm nhị phân (hoặc cập nhật hiệu quả) trên trọng lượng tối đa và kiểm tra kết nối. Tôi không biết liệu điều này có thể được cải thiện.$\tilde{O}(|E|^2)$$|E|$$|E|$

Đường dẫn có độ cao tối thiểu (theo thuật ngữ của bạn): Điều này có thể được giải quyết kịp thời . Bạn có thể tính khoảng cách (như tổng các kích thước 'bước') cho tất cả các cạnh tương tự với đường dẫn ngắn nhất có trọng số thông thường. Lưu ý rằng các đỉnh lặp lại không thể rút ngắn một đường dẫn. Để xử lý hiệu quả các đỉnh độ cao (như để tránh thời gian ), bạn có thể chia một đỉnh độ thành một đường dẫn của các đỉnh .$\tilde{O}(|E|)$$|E|^2$$k$$k-1$

Đường dẫn có trọng số nguyên tố tối thiểu: Nếu các trọng số là nhị phân, thì đây phải là NP hoàn chỉnh: Sử dụng các cạnh trọng số 1, ngoại trừ cạnh trọng số cao ban đầu sao cho chỉ một đường dẫn Hamilton có trọng số chính (trọng số là tổng trọng số cạnh) . (Một lưu ý là chúng tôi chưa chứng minh được rằng các số nguyên tố đủ lớn (ngay cả khi không có khoảng trống nguyên tố tối thiểu) có thể nhanh chóng được tìm thấy mà không có sự ngẫu nhiên.) Ngay cả đối với các trọng số đơn nhất, tôi không hy vọng nó sẽ ở P.
Trọng lượng tối thiểu cho phép tự giao điểm: Trong P cho trọng số đơn nguyên. Nếu, thay cho tập hợp các số nguyên tố, chúng tôi đã sử dụng một tập hợp các số ngẫu nhiên có mật độ , thì với xác suất 1, nó nằm trong$S$$Θ(n/\log n)$$\mathrm{P}^S$ngay cả đối với các trọng số nhị phân: Việc theo dõi các trọng số đường đi thấp nhất (phụ thuộc vào ) ở mỗi điểm. Tuy nhiên, với các trọng số cơ bản, chúng ta có thể phải đa dạng hóa các ước của chênh lệch trọng lượng (thay vì chỉ theo dõi các trọng số thấp nhất), và không rõ liệu điều đó có đủ hay không.$S$

Đường dẫn mượt nhất: NP hoàn thành. Nếu chúng tôi cho phép tự giao nhau, điều này sẽ có thể giải quyết kịp thời , nhưng đối với phiên bản không có giao điểm tự, đây là cách giảm từ 3-SAT với biến. Có các đỉnh , cộng với một đỉnh cho mỗi mệnh đề. Đối với mỗi biến ( ), hãy thêm một đường dẫn trơn tru (sử dụng các đỉnh bổ sung nếu cần thiết) từ đến đi qua tất cả các mệnh đề có sự xuất hiện tích cực của và một đường dẫn tương tự cho các mệnh đề có$\tilde{O}(|E|)$$n$$s=v_0,v_1,...,t=v_n$$x_i$$i<n$$v_i$$v_{i+1}$$x_i$$¬x_i$. Đặt trọng lượng cạnh đầu tiên và cuối cùng của mỗi đường dẫn thành 1 (hoặc hằng số khác), nhưng nếu không thì chọn trọng số sao cho không có đường dẫn nào khác trơn tru. Cuối cùng, sao chép tất cả các đỉnh mệnh đề và các cạnh liền kề; bằng cách này, mỗi mệnh đề có thể được truy cập nhiều nhất hai lần, đủ cho 3-SAT.