Tại sao các tỷ lệ gần đúng khác biệt không được nghiên cứu kỹ so với các tiêu chuẩn mặc dù lợi ích được yêu cầu của chúng?

$\sup\frac{A}{OPT}$$MIN$$A$$A$$OPT$$\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}$$\Omega$

• nó đưa ra tỷ lệ gần đúng tương tự cho các vấn đề như Độ phủ đỉnh tối thiểu và Tập độc lập tối đa được biết là các nhận thức khác nhau của cùng một vấn đề;
• nó đưa ra tỷ lệ giống nhau cho các phiên bản tối đa và tối thiểu của cùng một vấn đề. Đồng thời chúng ta biết trong lý thuyết tiêu chuẩn MIN TSP và MAX TSP có các tỷ lệ rất khác nhau.
• Nó đo khoảng cách không chỉ đến mức tối ưu mà còn cả mức tối đa . Vì vậy, trong trường hợp lý thuyết gần đúng tiêu chuẩn của Vertex Cover nói rằng là giới hạn trên tốt nhất. Nhưng Essentialy là tỷ lệ tối đa giữa pessimum và tối ưu. Do đó, thuật toán như vậy được đảm bảo để đưa ra giải pháp có giá trị xấu nhất.2 $\Omega$$2$$2$

Đối số của tôi là: trong phân tích tiệm cận, chúng tôi không xem xét các hằng số và các điều khoản có thứ tự thấp (ở đây tôi nhớ lại câu trích dẫn của Avi Widgerson: "Chúng tôi thành công vì chúng tôi sử dụng mức độ trừu tượng đúng.") Và đây là mức độ trừu tượng để so sánh việc sử dụng tài nguyên của thuật toán. Nhưng khi chúng tôi nghiên cứu gần đúng chúng tôi bằng một số lý do giới thiệu sự khác biệt ở những nơi mà chúng tôi có thể tránh nó.

Câu hỏi của tôi là

Tại sao lý thuyết gần đúng vi phân nghiên cứu kém như vậy. Hoặc các đối số liên quan không đủ mạnh?

Có hai cách giải thích yêu cầu bồi thường các "thuật toán tìm thấy một α -approximation của vấn đề P "$A$$\alpha$$P$ :

1. Vấn đề rất dễ giải quyết khá tốt, vì chúng ta có một thuật toán tìm ra một xấp xỉ tốt.$P$
2. Thuật toán là tốt , vì nó tìm thấy một xấp xỉ tốt.$A$

Tôi nghĩ định nghĩa cổ điển của yếu tố gần đúng nhấn mạnh đến cách hiểu đầu tiên. Chúng tôi phân loại các vấn đề theo cách dễ dàng để giải quyết khá tốt.

Tỷ lệ xấp xỉ vi sai dường như đặt nặng hơn một chút vào cách hiểu thứ hai: chúng tôi không muốn "thưởng" các thuật toán tầm thường (ví dụ: các thuật toán chỉ xuất ra một tập hợp trống hoặc tập hợp tất cả các nút).

Tất nhiên, cả hai đều là quan điểm hợp lệ, nhưng chúng là các quan điểm khác nhau .

Chúng ta cũng có thể nghiên cứu câu hỏi từ góc độ thực tế hơn một chút. Thật không may, các đỉnh bao gồm như vậy không có nhiều cách sử dụng trực tiếp, nhưng để tranh luận, chúng ta hãy xem xét hai ứng dụng (hơi giả tạo) này:

• Vertex cover: các nút là máy tính và các cạnh là các liên kết giao tiếp; chúng tôi muốn giám sát tất cả các liên kết truyền thông và do đó ít nhất một điểm cuối của mỗi cạnh phải chạy một quy trình đặc biệt.

• Tập độc lập: các nút là công nhân và mô hình cạnh xung đột giữa các hoạt động của chúng; chúng tôi muốn tìm một tập hợp các hoạt động không xung đột có thể được thực hiện đồng thời.

Bây giờ cả hai vấn đề đều có một giải pháp tầm thường: tập hợp tất cả các nút là một đỉnh đỉnh và tập hợp trống là một tập độc lập.

Sự khác biệt chính là với vấn đề che đỉnh, giải pháp tầm thường hoàn thành công việc . Chắc chắn, chúng tôi đang sử dụng nhiều tài nguyên hơn mức cần thiết, nhưng ít nhất chúng tôi có một giải pháp mà chúng tôi có thể sử dụng trong thực tế. Tuy nhiên, với bài toán đặt độc lập, giải pháp tầm thường hoàn toàn vô dụng . Chúng tôi không có tiến bộ gì cả. Không ai làm gì cả. Nhiệm vụ không bao giờ hoàn thành.

Tương tự như vậy, chúng ta có thể so sánh các giải pháp gần như tầm thường: đỉnh bìa mà bao gồm các điểm cuối của một kết hợp tối đa, và độc lập bộ tôi đó là sự bổ sung của C . Một lần nữa, C chắc chắn hoàn thành công việc trong ứng dụng của chúng tôi và lần này chúng tôi không lãng phí tài nguyên nhiều hơn yếu tố hai. Tuy nhiên, tôi có thể lại là một bộ trống, hoàn toàn vô dụng.$C$$I$$C$$C$$I$

Do đó định nghĩa chuẩn của bảo đảm gần đúng trực tiếp cho chúng ta biết giải pháp có hữu ích hay không. Một xấp xỉ 2 xấp xỉ của đỉnh đỉnh sẽ hoàn thành công việc. Một bộ độc lập mà không có bất kỳ sự đảm bảo gần đúng nào có thể hoàn toàn vô dụng.

Theo một nghĩa nào đó, tỷ lệ gần đúng vi sai cố gắng đo lường "giải pháp không tầm thường" như thế nào, nhưng nó có quan trọng trong một trong các ứng dụng này không? (Có vấn đề gì trong ứng dụng nào không?)

Tôi không quen thuộc với khái niệm xấp xỉ vi phân, và tôi không có bất kỳ lý thuyết nào tại sao nó không được nghiên cứu kỹ. Tuy nhiên, tôi muốn chỉ ra rằng không phải lúc nào cũng mong muốn mô tả hiệu suất của thuật toán xấp xỉ bằng một biện pháp duy nhất. Theo nghĩa này, tôi thấy khó đồng ý rằng một số biện pháp tốt hơn một biện pháp khác.

Ví dụ, như bạn đã nêu, bìa đỉnh tối thiểu thừa nhận thuật toán xấp xỉ 2 thời gian đa thức trong khi đó NP-hard khó xấp xỉ được đặt độc lập tối đa với bất kỳ tỷ lệ không đổi nào. Mặc dù tôi hiểu rằng điều này có thể gây ngạc nhiên ngay từ cái nhìn đầu tiên, nhưng nó có ý nghĩa chính đáng: (1) độ phủ đỉnh tối thiểu có thể xấp xỉ tốt khi nó nhỏ nhưng (2) nó không thể xấp xỉ tốt khi nó lớn. Khi chúng tôi tuyên bố rằng NP khó có thể xấp xỉ đỉnh đỉnh tối thiểu (và tập độc lập tối đa) với bất kỳ tỷ lệ xấp xỉ hằng số dương khác nhau, chúng tôi thực sự bỏ qua thuộc tính (1). Nó có thể đủ tốt cho một số mục đích để bỏ qua tài sản (1), nhưng chắc chắn không phải lúc nào cũng như vậy.

Lưu ý rằng không phải lúc nào chúng ta cũng sử dụng tỷ lệ gần đúng để mô tả hiệu suất của các thuật toán xấp xỉ. Ví dụ, để nêu một kết quả không thể đạt được dựa trên định lý PCP về tính tổng quát của nó, chúng ta cần xây dựng dựa trên các vấn đề về khoảng cách. Xem câu trả lời của tôi cho một câu hỏi khác để biết chi tiết. Trong trường hợp này, không sử dụng tỷ lệ xấp xỉ tiêu chuẩn cũng như không sử dụng tỷ lệ xấp xỉ vi phân cho phép chúng tôi nêu kết quả trong tổng quát.

Như Tsuyoshi chỉ ra, vấn đề có thể là loại tranh luận nào bạn muốn sử dụng ràng buộc thu được. Sau đây, tôi sẽ cố gắng phát triển hai động lực khác nhau.

$\alpha = \frac{A}{OPT}$

Tỷ lệ khác biệt của hình thức $\alpha = \frac{\Omega - A}{\Omega - OPT}$$\alpha\cdot 100\%$

Vì vậy, tùy thuộc vào loại tuyên bố nào bị ràng buộc dẫn xuất, bạn nên chọn phương án thích hợp.

$[\Omega, OPT]$