Định nghĩa chính xác của Random K-SAT là gì?

Có 4 ràng buộc khác nhau mà chúng ta có thể có khi xác định K-SAT ngẫu nhiên.
1) Tổng số chữ trong một mệnh đề đã cho chính xác là K hoặc AT nhiều nhất K
2) Một chữ có thể được sử dụng có hoặc không có thay thế trong cùng một mệnh đề (A hoặc A hoặc A)
3) Một biến đã cho có thể được sử dụng với hoặc không thay thế trong cùng một mệnh đề (A hoặc ~ A hoặc ~ A)
4) Một mệnh đề đã cho có thể được sử dụng có hoặc không có thay thế trong một công thức đã cho
Định nghĩa "đúng" nhất là gì? Những nhược điểm và ưu điểm của việc sử dụng các định nghĩa khác nhau này là gì?

Như đã chỉ ra ở phần đầu của cuộc thảo luận này trong các bình luận, không nhất thiết phải có một định nghĩa "đúng" duy nhất cho -SAT ngẫu nhiên .$k$

Điều đó nói rằng, hai biến thể phổ biến nhất của -SAT ngẫu nhiên là cả hai mô hình độ dài mệnh đề cố định (FCL), có nghĩa là chính xác k chữ xuất hiện trong mỗi mệnh đề. Các biến thể này đều không cho phép các biến và nghĩa đen lặp lại trong một mệnh đề, nhưng khác nhau về việc chúng có cho phép các mệnh đề lặp lại trong một công thức hay không. Tuy nhiên, về cơ bản chúng giống như sẽ được thảo luận dưới đây.$k$ $k$

Hai mô hình chính:

Các Selman ngẫu nhiên mô hình - điều khoản Lặp đi lặp lại được cho phép . Kyle đã đưa ra tài liệu tham khảo tốt đẹp này trong các bình luận cho câu trả lời của mình, nhưng giả định không chính xác rằng mô hình không cho phép các mệnh đề lặp đi lặp lại. Phiên bản được liên kết (hơi khác) của bài báo chứa một cuộc thảo luận chi tiết hơn về mô hình ngẫu nhiên trong Phần 3: "Phương pháp tạo này cho phép các mệnh đề trùng lặp trong một công thức ... Tuy nhiên, vì N bị trùng lặp lớn sẽ trở nên hiếm vì chúng ta thường chỉ chọn một số mệnh đề tuyến tính. "

Mô hình ngẫu nhiên Achlioptas - Các mệnh đề lặp lại không được phép . Chúng tôi coi việc tạo ra một công thức ngẫu nhiên là chọn mệnh đề uar từ 2 k ($m$ tổng các mệnh đề có thể mà không cần thay thế. XemSách hướng dẫn về sự hài lòng[1] (SAT ngẫu nhiên của Achlioptas) làm tài liệu tham khảo. Mô hình này dường như phổ biến hơn trong các tài liệu lý thuyết, có thể bởi vì rất nhiều trong số đó được viết bởi chính Achlioptas.$2^k {n \choose k}$

Sự tương đương của các vị trí chuyển pha :

Tuy nhiên, quá trình chuyển pha (ngưỡng thỏa mãn 50%) xảy ra ở cùng tỷ lệ mệnh đề biến, bất kể mô hình nào trong số các mô hình này được chọn vì lý do chính là Selman et al. ghi chú trong bài báo của họ

Đặt biểu thị số lượng mệnh đề các cặp mệnh đề giống hệt nhau trong một trường hợp ngẫu nhiên Selman ( n , m , k ) -SAT. Xác suất của một cặp mệnh đề đã cho là giống hệt nhau là p = 1 / ( 2 k ($A(n,m,k)$$(n,m,k)$, trong khi tổng số cặp mệnh đề làN= ($p = 1/(2^k {n \choose k})$ . Theo tính tuyến tính của kỳ vọng,A(n,m,k)=p⋅N= ($N = {m \choose 2}$ .$A(n,m,k) = p \cdot N = {m \choose 2}/{2^k {n \choose k}}$

$k$$m = O(2^k n)$$k \geq 3$$m = O(2^k n)$

$A(n,m,k) = {m \choose 2}/{2^k {n \choose k}} = O(m^2)/O(n^k) = O(n^2)/O(n^k)$

$k \geq 3$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} O(n^2)/O(n^k) = 0$$k$

Tự quảng cáo không biết xấu hổ - Tôi thảo luận ngắn gọn về các chủ đề này trong Phần 4.1 của luận án thạc sĩ .

QBF ngẫu nhiên

Hóa ra, tình huống thú vị hơn nhiều đối với QBF ngẫu nhiên. AFAIK là ba bài báo đầu tiên về QBF ngẫu nhiên, mỗi bài đề xuất một mô hình ngẫu nhiên mới, phê phán người tiền nhiệm của họ.

Xem các giấy tờ sau:

• Cadoli và cộng sự. "Phân tích thử nghiệm chi phí tính toán của việc đánh giá các công thức Boolean định lượng." AI * IA 1997
• Gent + Walsh "Vượt ra ngoài NP: quá trình chuyển pha QSAT." AAI / IAAI 1999
• Chen + Interian "Một mô hình để tạo ra các công thức Boolean định lượng ngẫu nhiên." IJCAI 2005

[Đã chỉnh sửa cho rõ ràng]

Định nghĩa được sử dụng rộng rãi nhất trong tài liệu nghiên cứu là định nghĩa yêu cầu chính xác k biến riêng biệt cho mỗi mệnh đề và không có mệnh đề trùng lặp. Nếu bạn nới lỏng các hạn chế biến khác biệt, phần lớn các nghiên cứu hiện tại sẽ không có ý nghĩa với bạn vì kết quả của bạn sẽ không khớp với kết quả của chúng. Quá trình chuyển pha sat / unsat nổi tiếng sẽ xảy ra ở một tỷ lệ mệnh đề biến khác nhau (nếu quá trình chuyển đổi hoàn toàn tồn tại) và bạn sẽ không tìm thấy các trường hợp SAT khó mà bạn mong đợi từ tài liệu.