Đo tính ngẫu nhiên của các công thức CNF

Người ta biết rộng rãi rằng các công thức CNF có thể được phân vùng thô trong 2 lớp rộng: ngẫu nhiên so với cấu trúc. Các công thức CNF có cấu trúc, đối lập với các công thức CNF ngẫu nhiên, thể hiện một số thứ tự, hiển thị các mẫu không có khả năng xảy ra do tình cờ. Tuy nhiên, người ta có thể tìm thấy các công thức có cấu trúc thể hiện một số mức độ ngẫu nhiên (nghĩa là các nhóm mệnh đề cụ thể có vẻ ít cấu trúc hơn các nhóm khác), cũng như các công thức ngẫu nhiên với một số dạng cấu trúc yếu (ví dụ như các nhóm mệnh đề cụ thể có vẻ ít ngẫu nhiên hơn các nhóm khác ). Do đó, dường như tính ngẫu nhiên của một công thức không chỉ là sự thật có / không.

Đặt $r: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ là một hàm, với công thức CNF , trả về giá trị thực trong khoảng từ đến : có nghĩa là một công thức có cấu trúc thuần túy, trong khi có nghĩa là một công thức thuần túy công thức ngẫu nhiên.$F \in \mathcal{F}$$0$$1$$0$$1$

Tôi tự hỏi nếu ai đó đã từng cố gắng phát minh ra một như vậy . Tất nhiên giá trị được trả về bởi r sẽ (ít nhất đây là ý định của tôi) chỉ là một phép đo thực tế theo một số tiêu chí hợp lý, chứ không phải là một sự thật lý thuyết vững chắc.$r$$r$

Tôi cũng muốn biết liệu ai đó đã từng xác định và nghiên cứu bất kỳ chỉ số thống kê nào có thể được sử dụng trong định nghĩa của hoặc trong việc xác định các thuộc tính tổng thể hữu ích khác của công thức. Theo chỉ số thống kê, ý tôi là như thế:$r$

1. HCV (Hit Đếm Variance)
   
   Hãy là một chức năng đó, cho một biến v j ∈ N , trả về số lần v j xuất hiện trong F . Hãy để V là tập hợp các biến được sử dụng trong F . Đặt ˉ h F = $h_F: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$v_j \in \mathbb{N}$$v_j$$F$$V$$F$là AHC (Đếm Hit Average). HCV được định nghĩa như sau: HVC=$\bar{h}_F = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{h_F(v_j)}$
   
   Trong những trường hợp ngẫu nhiên, HCV là rất thấp (tất cả các biến được đề cập gần như cùng một số lần), trong khi ở trường hợp có cấu trúc nó không phải là (một số biến được sử dụng rất thường xuyên và một số khác thì không, tức là có "cụm sử dụng").$HVC = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{(h_F(v_j) - \bar{h}_F)^2}$
   
   
   
   
2. AID (Độ tạp chất trung bình)
   
   Gọi là số lần v j xảy ra dương và cho h - F ( v j ) số lần xảy ra âm. Đặt i : N → [ 0 , 1 ] là một hàm, với biến v j ∈ V , trả về ID của nó (Độ tạp chất). Hàm i ( v j ) được định nghĩa như sau: i $h_F^{+}(v_j)$$v_j$$h_F^{-}(v_j)$$i: \mathbb{N} \rightarrow [0,1]$$v_j \in V$$i(v_j)$ . Các biến đó xảy ra một nửa số lần dương và một nửa số lần âm có Độ tạp chất tối đa, trong khi các biến đó xảy ra luôn dương hoặc luôn âm (nghĩa là nghĩa đen thuần túy) có Độ tạp chất tối thiểu. AID được định nghĩa đơn giản như sau: AID=$i(v_j) = 2 \cdot \frac{min(h_F^{+}(v_j), h_F^{-}(v_j))}{h_F(v_j)}$
   
   Trong những trường hợp ngẫu nhiên (ít nhất là trong những tạo ra bởi phủ nhận biến với xác suất0,5), AID là gần như tương đương với1, trong khi ở trường hợp có cấu trúc nó thường là xa1.$AID = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{i(v_j)}$
   
   $0.5$$1$$1$
   
   
3. IDV (Phương sai mức độ tạp chất)
   
   IDV là một chỉ số mạnh hơn so với riêng AID, vì nó chiếm các trường hợp ngẫu nhiên được tạo bằng cách phủ định các biến có xác suất khác nhau . Nó được định nghĩa là: I D V = $0.5$
   
   Trong những trường hợp ngẫu nhiên các IDV là0(vì mỗi biến được phủ nhận với xác suất như nhau), trong khi ở trường hợp có cấu trúc nó còn xa mới0. $IDV = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{(i(v_j) - AID)^2}$
   
   $0$$0$

Động lực

1. Để hiểu rõ hơn về cách thức hoạt động của các công thức CNF, cách đo ngẫu nhiên / cấu trúc của chúng, nếu các thuộc tính tổng thể hữu ích khác có thể được suy ra bằng cách xem xét các chỉ số thống kê của chúng, nếu và làm thế nào các chỉ số đó có thể được sử dụng để tăng tốc tìm kiếm.
2. Tự hỏi nếu sự thỏa mãn (hoặc thậm chí số lượng giải pháp) của một công thức CNF có thể được suy ra bằng cách khéo léo xử lý các chỉ số thống kê của nó.

Câu hỏi

1. Đã có ai từng đề xuất một cách để đo lường tính ngẫu nhiên của công thức CNF chưa?
2. Đã có ai từng đề xuất bất kỳ chỉ số thống kê nào có thể được sử dụng để nghiên cứu hoặc thậm chí để suy luận một cách cơ học các tính chất tổng thể hữu ích của công thức CNF chưa?

Tôi đề nghị mượn trực giác vật lý rằng các cấu trúc "ít ngẫu nhiên" đối xứng hơn. Đối xứng cho CNF là bất kỳ biến đổi nào của các biến, giữ cho hàm bất biến. Theo tiêu chí đó, chức năng của 3 biến như

$\displaystyle x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3} .$

hoặc, nói,

$\displaystyle(x_{1} \vee x_{2} \vee \neg x_{3}) \wedge (x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee \neg x_{2} \vee \neg x_{3}).$

ít ngẫu nhiên hơn, nói

$\displaystyle(x_{1} \vee x_{2} \vee \neg x_{3}) \wedge (x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) .$

Nói chung, việc xác định một khái niệm "ngẫu nhiên" trên các cấu trúc hữu hạn là một thách thức. Trong lịch sử, nó đã được thử trên các chuỗi nhị phân, được cho là cấu trúc hữu hạn đơn giản nhất. Ví dụ, theo trực giác, một chuỗi 01010101 là "ít ngẫu nhiên" hơn, giả sử, 01001110. Tuy nhiên, người ta nhanh chóng nhận ra rằng không có định nghĩa chính thức nhất quán về chuỗi ngẫu nhiên hữu hạn ! Do đó, người ta phải hoài nghi về bất kỳ nỗ lực ngây thơ nào để xác định một thước đo ngẫu nhiên cho bất kỳ cấu trúc hữu hạn nào.