Một biến thể NP-đầy đủ của bao thanh toán.

Cuốn sách của Arora và Barak trình bày bao thanh toán là vấn đề sau:

$\text{FACTORING} = \{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists \text{ a prime } p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

Họ nói thêm, trong Chương 2, việc loại bỏ thực tế rằng là số nguyên tố khiến vấn đề này trở thành NP hoàn chỉnh, mặc dù điều này không liên quan đến khó khăn của các con số bao thanh toán. Có vẻ như có thể giảm từ SUBSETSUM, nhưng tôi đã gặp khó khăn khi tìm thấy nó. Bất kỳ may mắn hơn ở đây? $p$

EDIT ngày 01 tháng 3: Các tiền thưởng là dành cho -completeness bằng chứng sử dụng giảm xác định Karp (hay Cook). $NP$

cc.complexity-theory np-hardness factoring

— Michaël Cadilhac
nguồn

@turkistany: FWIW, tôi coi đó là phong cách xấu khi đặt NP in nghiêng, và cả phong cách xấu và LaTeX xấu để đặt nó trong chế độ toán học (vì khoảng cách giữa các chữ cái khác nhau).

— Michaël Cadilhac

@ Michaël, Xin lỗi, trở lại phong cách ban đầu. Tôi cảm thấy phấn khích với câu hỏi của bạn :)

— Mohammad Al-Turkistany

Một mô tả đầy đủ hơn: Trên trang 63 của cuốn sách, họ viết: Alon và Kilian (trong giao tiếp cá nhân) cho thấy trong định nghĩa của ngôn ngữ Bao thanh toán trong ví dụ 2.3, điều kiện là yếu tố p là chính là cần thiết để nắm bắt vấn đề bao thanh toán, vì không có điều kiện này, ngôn ngữ này là NP-Complete (vì lý do không liên quan gì đến độ cứng của số nguyên bao thanh toán).

— MS Dousti

Tự nhiên, tôi tìm kiếm một bài báo của Alon và Kilian có chứa fact factoring và NP-đầy đủ. Tôi không tìm thấy gì cả (tôi đoán rằng điều này cũng tự nhiên theo một nghĩa nào đó). :(

— Tsuyoshi Ito

@Michael Tôi thực sự thích kết xuất các lớp như

hơn là NP. Không

N P

$\mathsf{NP}$

— Suresh Venkat

Câu trả lời:

Đây không phải là một câu trả lời, nhưng nó gần. Sau đây là một bằng chứng cho thấy vấn đề là NP-hard dưới các mức giảm ngẫu nhiên.

Có một mối quan hệ rõ ràng với tổng tập hợp con đó là: giả sử bạn biết các yếu tố của : , , , . Bây giờ, bạn muốn tìm một tập hợp con của đến nỗi $N$ $p_1$ $p_2$ $\ldots$ $p_k$ $S$ $p_1$ $\ldots$ $p_k$

\log L \leq \sum_{p_{i} \in S} \log p_{i} \leq \log U .

$\displaystyle \log L \leq \sum_{p_i \in S} \log p_i \leq \log U.$

Vấn đề với việc cố gắng sử dụng ý tưởng này để chỉ ra vấn đề là NP-hard là nếu bạn gặp vấn đề về tập hợp con với các số , , , , bạn không nhất thiết phải tìm các số nguyên tố trong thời gian đa thức như vậy mà (nơi bằng , tôi có nghĩa là xấp xỉ tỉ lệ với). Đây là một vấn đề thực sự bởi vì, vì tập hợp con không hoàn toàn NP-đầy đủ, bạn cần tìm các cho các số nguyên lớn . $t_1$ $t_2$ $\ldots$ $t_k$ $\log p_i \propto t_i$ $\propto$ $\log p_i$ $t_i$

Bây giờ, giả sử chúng tôi yêu cầu tất cả các số nguyên trong một tập hợp con sum vấn đề là giữa và , và rằng tổng khoảng $t_1$ $\ldots$ $t_k$ $x$ $x(1+1/k)$ . Bài toán tổng con vẫn sẽ là NP-đầy đủ và bất kỳ giải pháp nào cũng sẽ là tổng củasố nguyên. Chúng tôi có thể thay đổi các vấn đề từ các số nguyên để tập số thực nếu chúng ta để cho được giữavà $\frac{1}{2}\sum_i t_i$ $k/2$ $t'_i$ $t_i$ và thay vì yêu cầu tổng phải chính xác, chúng tôi yêu cầu nó phải nằm giữavà $t_i+\frac{1}{10k}$ $s$ $s$ . Chúng tôi chỉ cần xác định các số của chúng tôi khoảngbit chính xác hơn để làm điều này. Do đó, nếu chúng ta bắt đầu với các số cóbitvà chúng ta có thể chỉ định số thựcvớiđộ chính xácxấp xỉbit, chúng ta có thể thực hiện việc giảm. $s + \frac{1}{10}$ $4 \log k$ $B$ $\log p_i$ $B + 4 \log k$

Bây giờ, từ wikipedia (thông qua bình luận Hsien-Chih của bên dưới), số lượng các số nguyên tố giữa và là , vì vậy nếu bạn chỉ cần chọn số ngẫu nhiên trong phạm vi đó, và kiểm tra chúng cho tính nguyên thủy, với xác suất cao có được một số nguyên tố trong thời gian đa thức. $T$ $T+ T^{5/8}$ $\theta(T^{5/8}/\log T)$

Bây giờ, hãy thử giảm. Hãy nói rằng chúng tôi là tất cả bit dài. Nếu chúng ta lấy có độ dài bit, sau đó chúng ta có thể tìm thấy một số nguyên tố gần với bit chính xác. Do đó, chúng ta có thể chọn sao cho với độ chính xác $t_i$ $B$ $T_i$ $3B$ $p_i$ $T_i$ $9/8B$ $T_i$ $\log T_i \propto t_i$ bit. Điều này cho phép chúng tôi tìm sao cho với độ chính xác $9/8\, B$ $p_i \approx T_i$ $\log p_i \propto t_i$ bit. Nếu một tập hợp con của các số nguyên tố này nhân với giá trị gần với giá trị đích, thì một giải pháp tồn tại cho các bài toán tổng của tập hợp con ban đầu. Vì vậy, chúng ta để cho , chọn và một cách thích hợp, và chúng tôi có một sự giảm ngẫu nhiên từ tổng tập con. $9/8\,B$ $N=\Pi_i p_i$ $L$ $U$

— Peter Shor
nguồn

Tôi không hiểu giảm. Để bài toán tổng hợp tập hợp con được hoàn thành NP, số phải được đưa ra dưới dạng nhị phân. Nếu chúng ta muốn các số nguyên có logarit gần với các số trong một thể hiện của bài toán tổng con, chúng ta cần nhiều chữ số theo cấp số nhân. Làm thế nào để bạn vượt qua điều này?

— Tsuyoshi Ito

@Peter: Giả định trong lý thuyết số được gọi là phỏng đoán của Cramér , nói rằng

, trong đó

là số nguyên tố thứ n. Xem khoảng cách nguyên tố bài viết cũng để tham khảo.

p_{n + 1} - p_{n} = O (\log^{2} n)

$p_{n+1} - p_n = O(\log^2 n)$

p_{n}

$p_n$

— Hsien-Chih Chang 張顯

T

$T$

α = 0.525

$\alpha = 0.525$

c_{1} = \infty

$c_1 = \infty$

c_{2} = 1

$c_2 = 1$

Chỉ cần đi qua điều này. Tôi nên lưu ý rằng tôi không biết bằng chứng Kilian-Alon ban đầu là gì. Kiến thức duy nhất của tôi về bằng chứng là từ một cuộc giao tiếp với Noga, người không nhớ chi tiết về bằng chứng ban đầu, và bằng chứng anh ta dựng lại chính xác là bằng chứng này. Lưu ý rằng nó cũng có thể được mô tả như là một mức giảm xác định theo một số giả định lý thuyết số mạnh (ví dụ: có một số nguyên tố trong bất kỳ khoảng nào của dạng [x, x + polylog (x)]).

— Boaz Barak

Tôi vừa nói chuyện với Joe Kilian. Ông nói rằng bằng chứng rằng ông và Alon đã đưa ra các mức giảm ngẫu nhiên không có lỗi liên quan. Theo như anh ấy biết, việc giảm tính xác định vẫn còn mở trừ khi bạn đưa ra một số giả định về mặt lý thuyết số, như Boaz Barak đã nói.

— Timothy Chow

$NP = PCP[O(\log{n}), O(1)]$

Một đoạn trích từ bài viết của Madhu :

$A$ $A$ $N, L, U$ $L \leq U \leq N$ $A$ $N$ $L$ $U$ $N$ $L$ $U$

... vượt xa các kỹ năng lý thuyết phức tạp của tôi :-)

— Marzio De Biasi
nguồn

Đây chỉ là một công thức khác mà vấn đề này là NP-đầy đủ.

— Marc Bury

{⟨ L, U, N ⟩ | (\exists p \in {L, \dots, U}) [p | N]}

$\{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

Vấn đề NGẮN HẠN trong bài báo gần giống như vấn đề tạm dừng giới hạn. Việc giảm bớt vấn đề RÚT GỌN có thể rất lộn xộn như bằng chứng điển hình về tính đầy đủ NP của SAT, và do đó, không chắc rằng bằng chứng về tính đầy đủ NP của vấn đề tìm kiếm yếu tố này bởi Kilian tạo ra sự giảm bớt từ Vấn đề NGẮN HẠN trực tiếp.

— Tsuyoshi Ito

Đây là một ý tưởng giảm xác định hiệu quả không chính thức (và có thể không đầy đủ):

$\{\langle L, U, M \rangle \;|\; (\exists \text{ a positive integer } p \in \{L, \ldots, U\})[p | M]\}$

$M$ $M=N_j * F_i$

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn