Tìm ra một bộ bằng cách so sánh giao lộ

Vấn đề sau đây nổi lên gần đây từ nghiên cứu của tôi và tôi muốn hỏi liệu có ai biết vấn đề này đã được xem xét trước đây hay đã nghe về bất cứ điều gì có thể liên quan.

Các thiết lập chung là như sau. Chúng tôi được cung cấp , một họ -subets của , đối với một số tham số (tôi quan tâm nhất đến trường hợp ). Có một kẻ thù người chọn một bộ trong , ký hiệu bởi . Công việc của chúng tôi là tìm ra là gì . Để làm điều này, chúng tôi được phép gửi bất kỳ hai tập hợp nào trong tới đối thủ, giả sử và và đối thủ sẽ xuất nếuvà nếu$F$$t$$\{1, 2, ..., n\}$$t$$t=\lfloor n/2\rfloor$$F$$S$$S$$F$$A$$B$$A$$|A\cap S|\geq |B\cap S|$$B$$|B\cap S|\geq |A\cap S|$. Lưu ý rằng nếusau đó các đối thủ có thể ra một trong hai hoặc .$|A\cap S|=|B\cap S|$$A$$B$

Vấn đề này có thể được giải quyết một cách tầm thường nếu chúng ta không quan tâm chúng ta có thể hỏi bao nhiêu truy vấn vì nếu chúng ta so sánh tất cả các cặp, sẽ là bộ duy nhất luôn được trả về từ đối thủ khi chúng ta gửi truy vấn , đối với bất kỳ . Tuy nhiên, mục tiêu của chúng tôi là giảm thiểu số lượng truy vấn.( S , B ) B ≠ $S$$(S, B)$$B\neq S$

Mục tiêu của tôi là chỉ ra rằng vấn đề này có thể được giải quyết bằng các truy vấn hoặc số lượng truy vấn siêu đa thức được yêu cầu. Tôi đặc biệt quan tâm đến trường hợp là tập hợp tất cả -subets của .F ⌊ n / 2 ⌋ { 1 , . . . , n $O(poly(n))$$F$$\lfloor n/2\rfloor$$\{1, ..., n\}$

Bất kỳ con trỏ đến bất cứ điều gì liên quan sẽ được đánh giá cao.

Đây là một biến thể của câu đố nổi tiếng về việc tìm kiếm một đồng tiền giả bằng cách sử dụng số dư . Nhưng trước khi tiếp tục, trước tiên hãy giải quyết câu hỏi, bởi vì kỹ thuật giải quyết nó cũng hữu ích khi thấy mối liên hệ với vấn đề tiền giả.

Đầu tiên, giả sử rằng các bộ truy vấn Một và B không phải là từ gia đình F . Sau đó, bạn có thể tìm thấy tập S bằng tối đa truy vấn như sau. Thực hiện truy vấn ({ a }, { b }) cho 1≤ a < b ≤ n . Lưu ý rằng mọi phần tử i ∈ {1, Trực, n } được sử dụng trong n −1 truy vấn. Nếu một phần tử i thuộc về S , thì tập { i } được trả lời ít nhất khi đối thủ không thuộc về S$\binom{n}{2}=O(n^2)$$\binom{n}{2}$và do đó, tập { i } được trả lời ít nhất n - t lần. Nếu một phần tử i không thuộc về S , thì tập { i } không thể được trả lời nếu đối thủ thuộc về S , và do đó tập { i } được trả lời nhiều nhất là n - t −1 lần. Do đó, đếm bao nhiêu lần mỗi bộ được trả lời, chúng ta có thể xác định toàn bộ S .

Điều này đòi hỏi các bộ truy vấn không phải từ gia đình F , không được phép trong vấn đề. Nhưng chúng ta có thể giải quyết vấn đề này bằng cách thêm các phần tử t −1 giống nhau cho cả hai bên. Ví dụ: thay vì thực hiện truy vấn ({1}, {2}), chúng tôi có thể thực hiện truy vấn ({1,3,4, Lỗi, t +1}, {2,3,4, Lỗi, t +1 }). Do đó, vấn đề có thể được giải quyết bằng các truy vấn O ( n ² ).

Bây giờ phần vui vẻ bắt đầu. Hãy xem xét n đồng tiền có nhãn 1, Nhận, n và t trong số đó là tiền giả và nặng hơn một chút so với tiền thật. Tất cả các đồng tiền giả đều có cùng trọng lượng. Bạn phải tìm các thiết lập S của các nhãn của t tiền giả bằng cách sử dụng một sự cân bằng chỉ poly ( n ) lần. Mỗi lần bạn sử dụng số dư, bạn có thể đặt tối đa các đồng xu { t , n - t } cho mỗi bên của số dư. Sự cân bằng hơi không chính xác theo nghĩa là nếu hai bên có cùng trọng lượng, một trong hai bên có thể đi xuống (bất lợi). Như tôi hy vọng rằng bạn có thể thấy bây giờ, đây chính xác là vấn đề tương tự như câu hỏi.

Chỉnh sửa : Phiên bản 4 trở về trước có lỗi này hoặc lỗi khác (rất tiếc) trong kết nối chính xác với câu đố tiền giả.

... uhm ... Tôi đang cố gắng tìm ra một thuật toán đa thức ... vẫn đang làm việc với nó ... nhưng tôi nghĩ vấn đề nên được cải cách tốt hơn, bởi vì có những trường hợp không thể chiến thắng (ít nhất là nếu F là họ của tất cả các tập con)

Ví dụ:

Let n=3

F={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}}

Queries     S={1}    S={1,2}
{1}>={2}      T      lie
{1}>={3}      T       T
{2}>={1}      F      lie 
{2}>={3}     lie      T
{3}>={1}      F       F
{3}>={2}     lie      F
{1}>={2,3}    T      lie
{2}>={1,3}    F      lie
{3}>={1,2}    F       F
{2,3}>={1}    F      lie
{1,3}>={2}    T      lie 
{1,2}>={3}    T       T

Như bạn có thể thấy - nếu đối thủ là một con cáo - anh ta có thể làm cho hai cột bằng nhau để không có cách nào để phân biệt giữa giải pháp và giải pháp .... thậm chí với một số lượng truy vấn theo cấp số nhân.S = { 1 , 2 $S=\{1\}$$S=\{1,2\}$

Và tôi nghĩ rằng ngay cả khi bạn hạn chế gia đình F, bạn vẫn có thể "gục ngã" trong một trò chơi không thể. Ví dụ: thêm phần tử ở đâu đó vào một hoặc nhiều bộ F trong ví dụ, sẽ không giết được con cáo :-)))$4$

Nó trông giống như một biến thể của Trò chơi trí tuệ thông thường là đa thức nhưng có phiên bản tĩnh hoàn chỉnh NP ( xem bằng chứng ).

... Trò chơi Mastermind ban đầu được phát minh vào năm 1970 bởi Meirowitz, vì một trò chơi cờ có lỗ cho các chuỗi có độ dài N = 4 và K = 6 chốt màu. Knuth (1) sau đó đã chỉ ra rằng trường hợp này của trò chơi Mastermind có thể được giải quyết trong năm lần đoán hoặc ít hơn. Chv Lúc sinh (2) đã nghiên cứu tổ hợp của Mastermind nói chung, cho thấy rằng nó có thể được giải quyết trong thời gian đa thức, trong trường hợp K> = N .... Stuckman và Zhang (3) cho thấy rằng nó hoàn toàn NP để xác định xem một chuỗi các phỏng đoán và câu trả lời trong Mastermind đếm kép nói chung là thỏa đáng. ...

(1) D. Knuth. Máy tính như một tâm trí chủ. Tạp chí toán học giải trí, 9: 1 trận5, 1977.

(2) V. Chv Lúc sinh. Chủ mưu. Combinatorica, 3 (3/4): 325 trừ329, 1983.

(3) J. Stuckman và G.-Q. Trương. Mastermind hoàn thành np, 2005. http://arxiv.org/abs/cs/0512049 .