Có vấn đề nào mà không có thuật toán hiệu quả, trong đó các định lý tồn tại đã chứng minh các thuật toán đó phải tồn tại?

22

Có vấn đề nào trong CS khi không có thuật toán hiệu quả nào được biết đến, mặc dù các định lý tồn tại chứng minh các thuật toán hiệu quả như vậy phải tồn tại?

Những vấn đề này được gọi là gì? Tôi có thể tìm hiểu thêm ở đâu?

ds.algorithms reference-request terminology

— z5h
nguồn

4

Tôi nghĩ điều này có liên quan: vi.wikipedia.org/wiki/Minor_(graph_theory)#Alacticms

— Philip White

3

Câu hỏi của bạn là gì? Trong tiêu đề có ghi "giải pháp", nhưng trong nội dung bạn viết "thuật toán".

— Marcos Villagra

6

Tôi nghĩ sẽ tốt hơn nếu bạn hỏi các vấn đề thú vị / tự nhiên , nếu không thì dễ xác định các vấn đề đó: lấy bất kỳ câu lệnh toán học nào không biết là đúng hay sai, tạo ra vấn đề đầu ra 1 (không phụ thuộc vào đầu vào) đúng và 0 nếu nó sai. Có hai thuật toán rất đơn giản mà một trong số chúng giải quyết được vấn đề này, nhưng quyết định về cơ bản là chứng minh / bác bỏ tuyên bố toán học, vì vậy chúng tôi không biết cái nào giải quyết được nó.

— Kaveh

9

Ví dụ, Shelby Kimmel sử dụng phương pháp đối nghịch trong bài viết này để chỉ ra rằng phải tồn tại thuật toán truy vấn cho một vấn đề nhất định mà chúng ta không biết một giải pháp truy vấn không đổi. Cô ấy thực hiện điều này một cách đặc biệt khéo léo bằng cách tìm độ phức tạp truy vấn của vấn đề được tạo bằng chính nó lần và sau đó tìm độ phức tạp truy vấn của hàm được ủ và lưu ý rằng độ phức tạp truy vấn của hàm ban đầu là thứ tự $O(1)$ $d$ $Q$ . $Q^\frac{1}{d}$

— Artem Kaznatcheev
nguồn

12

Chắc chắn, có rất nhiều ví dụ, ít nhất là theo tinh thần câu hỏi của bạn.

$O(dn)$

— Lev Reyzin
nguồn

2

Không, bạn luôn có thể sử dụng Thuật toán nhanh nhất và ngắn nhất cho tất cả các vấn đề được xác định rõ . ;)

— Marcus Ritt
nguồn

Tôi không hoàn toàn nghiêm túc nhưng quan sát rằng việc xây dựng của Hutter thực sự chứng minh tính đúng đắn của thuật toán. Tại sao bạn nghĩ rằng nó không trả lời câu hỏi?

— Marcus Ritt

4

@Ross Snider: tất nhiên các ngôn ngữ không thể giải quyết thoát khỏi kết quả của Hutter: rốt cuộc, anh ta đang đưa ra một thuật toán! Tuy nhiên, không giống như tìm kiếm Levin, yêu cầu các trường hợp sự cố có chứng chỉ có thể kiểm chứng (như các vấn đề tìm kiếm NP), tìm kiếm của Hutter thì không. Nó chỉ yêu cầu rằng vấn đề được nêu trong một ngôn ngữ chính thức, có thể làm cơ sở cho việc tìm kiếm bằng chứng một cách thấu đáo [rằng một số TM trên thực tế đang giải quyết vấn đề được chỉ định]. Ngoài ra, Hutter / Levin không cung cấp cho chúng tôi bằng chứng tồn tại của các thuật toán hiệu quả cho một vấn đề trừ khi chúng ta đã biết vấn đề có thuật toán như vậy.

— Joshua Grochow

1

@Joshua Tôi đã đưa ra các ngôn ngữ không thể giải quyết được như một ví dụ về điều mà tìm kiếm Hutter / Levin không thể quyết định được (tôi đã cố gắng chọn một cái gì đó rõ ràng) nhưng vẫn "được xác định rõ"; đó là một lập luận chống lại yêu cầu được tiến hành trong tiêu đề của bài báo. Tất nhiên, tôi đã cẩn thận thừa nhận tôi đã không đọc nội dung, điều mà tôi sẽ phải làm ngay bây giờ.

— Ross Snider

1

Thuật toán này có phải là nội dung tính toán của sự tương đương của toán học xây dựng và cổ điển trên các câu lệnh forall-tồn tại không?

— Neel Krishnaswami

1

@Neel Kirshnaswami: Thật khó để nói, vì tôi không biết có sự tương đương như vậy! Bạn có thể cho một con trỏ?

— Joshua Grochow

1

Chỉnh sửa: Câu trả lời dưới đây là lấy lại sự tồn tại của các giải pháp cho một vấn đề tính toán nhất định, chứ không phải về sự tồn tại của các thuật toán. Ban đầu, tôi giải thích sai câu hỏi.

Câu trả lời

Có một lớp phức tạp nắm bắt loại vấn đề tính toán này. Nó được gọi là TFNP . Nó được định nghĩa trong bài báo này:

Nimrod Megiddo và Christos Papadimitriou. Trên các hàm tổng, các định lý tồn tại và độ phức tạp tính toán . Khoa học máy tính lý thuyết 81 (2): 317-324.

Ở đây bạn sẽ tìm thấy các vấn đề như Tam giác tam giác, trong đó sự tồn tại của một giải pháp được đảm bảo bởi Bổ đề của Sperner (xem bài viết về định nghĩa của vấn đề này).

Bạn cũng có giấy sau:

Christos Papadimitriou. Về tính phức tạp của lập luận tương đương và các bằng chứng không hiệu quả khác về sự tồn tại . Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống 48 (3), 1990.

Trong bài báo này, bạn sẽ tìm thấy:

$n$
Cân bằng của trò chơi 2 người.
Tìm một con đường hamiltonian thứ hai trên biểu đồ.

Bài viết có rất nhiều ví dụ về loại vấn đề này. Vì vậy, tôi khuyên bạn nên xem nó.

— Marcos Villagra
nguồn

2

Câu hỏi đặt ra không phải về các vấn đề với các giải pháp hiện có cho các phiên bản quyết định của họ mà là về các vấn đề với sự tồn tại đã được chứng minh của các thuật toán hiệu quả. Đây là những điều khác nhau. Tôi đồng ý rằng ngay từ cái nhìn đầu tiên, tiêu đề có thể đánh lừa. Tuy nhiên, chỉ từ cái nhìn đầu tiên.

— Oleksandr Bondarenko

vâng, tôi cũng đồng ý Nhưng tôi đã hoàn toàn sai lầm bởi câu hỏi. Bây giờ trong trường hợp này, câu trả lời là sai lệch. Tôi làm gì? Tôi có xóa câu hỏi không? Hoặc chỉnh sửa và đưa ra cảnh báo về chính xác những gì đang trả lời?

— Marcos Villagra

Không có chính sách xóa câu trả lời, bạn luôn có thể làm những gì bạn cho là phù hợp. Cá nhân tôi nghĩ rằng nó là tốt để lại câu trả lời của bạn ở đây. Bạn có thể đặt một tuyên bố về câu hỏi mà bạn đang trả lời chính xác.

— Hsien-Chih Chang 張顯