Tiên đề cần thiết cho khoa học máy tính lý thuyết

Câu hỏi này được lấy cảm hứng từ một câu hỏi tương tự về toán học ứng dụng trên dòng chảy toán học và rằng suy nghĩ dai dẳng rằng các câu hỏi quan trọng của TCS như P so với NP có thể độc lập với ZFC (hoặc các hệ thống khác). Như một nền tảng nhỏ, toán học đảo ngược là dự án tìm ra các tiên đề cần thiết để chứng minh các định lý quan trọng nhất định. Nói cách khác, chúng ta bắt đầu từ một tập hợp các định lý mà chúng ta mong đợi là đúng và cố gắng rút ra tập hợp tối thiểu các tiên đề 'tự nhiên' làm cho chúng trở nên như vậy.

Tôi đã tự hỏi nếu phương pháp toán học ngược đã được áp dụng cho bất kỳ định lý quan trọng nào của TCS. Đặc biệt là lý thuyết phức tạp. Với sự bế tắc về nhiều câu hỏi mở trong TCS, có vẻ tự nhiên khi hỏi "những tiên đề nào chúng ta chưa thử sử dụng?". Ngoài ra, có bất kỳ câu hỏi quan trọng nào trong TCS được chứng minh là độc lập với các hệ thống con đơn giản nhất định của số học bậc hai không?

Vâng, chủ đề đã được nghiên cứu trong sự phức tạp bằng chứng. Nó được gọi là Toán học đảo ngược . Bạn có thể tìm thấy một bảng chứa một số kết quả toán học ngược ở trang 8 của cuốn sách Cook and Nguyen, " Logic Foundation of Proof Complexity ", 2010. Một số sinh viên trước đây của Steve Cook đã làm việc về các chủ đề tương tự, ví dụ luận án của Nguyễn, " Bounded Reverse Math " , Đại học Toronto, 2008.

Alexander Razborov (cũng là các nhà lý thuyết phức tạp chứng minh khác) có một số kết quả về các lý thuyết yếu cần thiết để chính thức hóa các kỹ thuật phức tạp mạch và chứng minh các giới hạn độ phức tạp mạch. Ông thu được một số kết quả không khả thi cho các lý thuyết yếu, nhưng các lý thuyết được coi là quá yếu.

Tất cả những kết quả này đều có thể chứng minh được trong (lý thuyết cơ bản của Simpson về Toán học đảo ngược), vì vậy AFAIK chúng tôi không có kết quả độc lập với các lý thuyết mạnh mẽ (và trên thực tế, kết quả độc lập như vậy sẽ có hậu quả mạnh mẽ như Neel đã đề cập, xem công trình của Ben-David (và các kết quả có liên quan) về tính độc lập của từ trong đó là phần mở rộng của ).P v s . N P P A 1 P A 1 P $RCA_0$$\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$$PA_1$$PA_1$$PA$

Là một câu trả lời tích cực cho câu hỏi cuối cùng của bạn, các bằng chứng chuẩn hóa của phép tính lambda đa hình như phép tính của các công trình đòi hỏi ít nhất là số học bậc cao và các hệ thống mạnh hơn (như phép tính của các cấu trúc quy nạp) tương đương với ZFC.

Là một câu trả lời phủ định cho câu hỏi cuối cùng của bạn, Ben-David và Halevi đã chỉ ra rằng nếu độc lập với , số học Peano được mở rộng với các tiên đề cho tất cả các sự thật số học phổ quát, thì có một thuật toán gần như đa thức cho SAT. Hơn nữa, hiện tại không có cách nào được biết để tạo câu độc lập với nhưng không phải là .P A 1 D T I M E ( n log ∗ ( n ) ) P A P A $P \not= NP$$PA_1$$DTIME(n^{\log^{*}(n)})$$PA$$PA_1$

Về mặt triết học hơn, đừng phạm sai lầm khi đánh đồng sức mạnh nhất quán với sức mạnh của sự trừu tượng.

Cách chính xác để tổ chức một chủ đề có thể liên quan đến các nguyên tắc lý thuyết tập hợp rõ ràng, mặc dù chúng có thể không thực sự cần thiết về mặt sức mạnh nhất quán. Ví dụ, các nguyên tắc thu thập mạnh rất hữu ích để nêu các thuộc tính đồng nhất - ví dụ, các nhà lý thuyết thể loại cuối cùng muốn các tiên đề lớn yếu yếu để thao túng mọi thứ như thể loại của tất cả các nhóm như thể chúng là đối tượng. Ví dụ nổi tiếng nhất là hình học đại số, sự phát triển của nó sử dụng rộng rãi các vũ trụ Grothendieck, nhưng tất cả các ứng dụng của nó (như Định lý cuối cùng của Fermat) dường như nằm trong số học thứ ba. Như một ví dụ tầm thường hơn nhiều, lưu ý rằng các hoạt động nhận dạng và thành phần chung không phải là các chức năng, vì chúng được lập chỉ mục trên toàn bộ vũ trụ của các tập hợp.

Mặt khác, đôi khi mối quan hệ giữa sức mạnh nhất quán và tính trừu tượng lại đi theo hướng ngược lại. Xem xét mối quan hệ giữa các biện pháp và biện pháp động lực. Các biện pháp được định nghĩa về gia đình của các tập con ( -algebras) trên một tập , trong khi các biện pháp motivic được định nghĩa trực tiếp trên công thức giải thích . Vì vậy, mặc dù biện pháp động lực khái quát hóa biện pháp, sự phức tạp về lý thuyết tập hợp đi xuống , vì một lần sử dụng sức mạnh sẽ biến mất.X $\sigma$$X$$X$

EDIT: Hệ thống logic A có cường độ nhất quán lớn hơn hệ thống B, nếu tính nhất quán của A ngụ ý tính nhất quán của B. Ví dụ, ZFC có cường độ nhất quán lớn hơn số học Peano, vì bạn có thể chứng minh tính nhất quán của PA trong ZFC. A và B có cùng độ bền đồng nhất nếu chúng không đồng nhất. Ví dụ, số học Peano là nhất quán khi và chỉ khi số học Heyting (mang tính xây dựng) là.

IMO, một trong những sự thật đáng kinh ngạc nhất về logic là sức mạnh nhất quán tập trung vào câu hỏi "chức năng phát triển nhanh nhất mà bạn có thể chứng minh tổng thể trong logic này là gì?" Kết quả là, tính nhất quán của nhiều lớp logic có thể được sắp xếp tuyến tính! Nếu bạn có một ký hiệu thứ tự có khả năng mô tả các hàm tăng trưởng nhanh nhất, hai logic của bạn có thể hiển thị tổng số, thì bạn sẽ biết bằng cách trichotomy rằng một trong hai có thể chứng minh tính nhất quán của cái kia, hoặc chúng không đồng nhất.

Nhưng thực tế đáng kinh ngạc này cũng là lý do tại sao sức mạnh nhất quán không phải là công cụ phù hợp để nói về trừu tượng toán học. Nó là một bất biến của một hệ thống bao gồm các thủ thuật mã hóa và sự trừu tượng hóa tốt cho phép bạn thể hiện một ý tưởng mà không cần các thủ thuật. Tuy nhiên, chúng tôi không biết đủ về logic để thể hiện ý tưởng này một cách chính thức.