Mô hình tính toán lượng tử là gì?

Thỉnh thoảng tôi nghe mọi người nói về thuật toán lượng tử và về các trạng thái và khả năng xem xét nhiều khả năng cùng một lúc, nhưng tôi chưa bao giờ tìm cách để ai đó giải thích mô hình tính toán đằng sau điều này. Để rõ ràng, tôi không hỏi về cách máy tính lượng tử được chế tạo vật lý, mà là làm thế nào để xem chúng từ quan điểm tính toán.

Tôi sẽ nhắc lại khuyến nghị của Martin Schwartz về Nielsen & Chaung như là tài liệu tham khảo tiêu chuẩn; Có nhiều người khác nữa.

Nghiên cứu trong lĩnh vực này thích xem xét các họ thống nhất của các mạch lượng tử, mà (trớ trêu thay) là các mạng tuần hoàn trực tiếp mô tả cách thức trạng thái của một hoặc nhiều thanh ghi biến đổi theo thời gian, theo cách tương tự như các mạch boolean cổ điển. Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm, tôi khuyên bạn nên học theo mô hình này.

Tôi muốn đưa ra một số câu trả lời định tính để bổ sung cho câu trả lời của Martin.

1. Tính toán lượng tử không thực sự xem xét "nhiều khả năng cùng một lúc" --- hay chính xác hơn, việc bạn có xem xét chúng để xem xét nhiều khả năng cùng một lúc hay không là vấn đề bạn lựa chọn giải thích cơ học lượng tử , tức là lựa chọn triết học không có mang khả năng hoặc dự đoán của mô hình tính toán. ("Xem xét nhiều khả năng cùng một lúc" tương ứng với "nhiều cách giải thích thế giới" của QM.)
   
   Ít nhất, người ta có thể nói rằng một máy tính lượng tử xem xét nhiều khả năng cùng một lúc chỉ trong phạm vi tính toán ngẫu nhiên bằng cách sử dụng tiền xu- flips xem xét nhiều khả năng cùng một lúc. Điều này là do:

2. Các trạng thái lượng tử là sự khái quát hóa của các phân phối xác suất "thông thường" --- với một số khác biệt đơn giản nhưng quan trọng. Một phân phối xác suất có thể được biểu diễn dưới dạng một vectơ thực không âm có các mục nhập tổng bằng 1: đó là một vectơ đơn vị trong định mức ℓ ¹ . Các tính toán xác suất phải ánh xạ các vectơ ¹ -unit sang các vectơ khác như vậy, và do đó chúng được mô tả bằng các bản đồ ngẫu nhiên. Người ta có thể mô tả tính toán lượng tử theo cách tương tự, ngoại trừ sử dụng vectơ ² -unit trên ℂ (không bị giới hạn là thực hoặc không âm); biến đổi là bởi những bản đồ bảo tồn ℓ ² -norm, tức là các hoạt động đơn nhất.
   
   Tất nhiên, sự khác biệt này không phải là nhỏ, cũng không giải thích được các hệ số của vectơ trạng thái lượng tử có nghĩa là gì . Nhưng nó có thể giúp giải thích những gì đang xảy ra với không gian Hilbert và các sản phẩm tenxơ trong tính toán lượng tử: để dí dỏm, chính xác những điều tương tự như xảy ra trong tính toán xác suất. Không gian cấu hình của một bit ngẫu nhiên là một vectơ trong ℝ ₊ ² (trong đó ℝ ₊ là các thực không âm); nhưng vì các bit ngẫu nhiên có thể tương quan với nhau, chúng tôi kết hợp các không gian cấu hình của một hoặc nhiều bit ngẫu nhiên bằng cách lấy sản phẩm tenxơ. Vậy không gian cấu hình của hai bit ngẫu nhiên là ℝ ₊ ²  ⊗ ₊ ²  ≅ ₊ ⁴ hoặc không gian tổng quát của các phân phối xác suất trên bốn chuỗi hai bit riêng biệt. Một hoạt động Một vào ngày đầu tiên của các bit ngẫu nhiên mà không hành động thứ hai được đại diện bởi các nhà điều hành Một  ⊗  I ₂  . Và như vậy. Các cấu trúc tương tự áp dụng cho các bit lượng tử; và chúng ta có thể xem xét các thanh ghi lượng tử qua các tập hợp các phần tử có thể phân biệt giống như cách chúng ta xem xét phân phối xác suất trên các tập hợp đó, một lần nữa sử dụng vectơ ² -norm trên.
   
   Mô tả này thực sự mô tả các trạng thái lượng tử "thuần túy" --- các trạng thái mà về nguyên tắc bạn có thể chuyển đổi theo cách bảo toàn thông tin thành phân phối delta trên chuỗi bit 00 ... 0 (hay chính xác hơn là thành một trạng thái tùy ý gần với điều này trong định mức ℓ ² ). Trên hết tính ngẫu nhiên lượng tử (trong đó tôi chưa đề cập bất cứ điều gì rõ ràng), bạn có thể xem xét tính ngẫu nhiên của vanilla tương ứng với hỗn hợp xác suất của các trạng thái lượng tử: chúng được biểu thị bằng các toán tử mật độ , có thể được biểu thị bằng các ma trận xác định dương với dấu vết 1 (một lần nữa khái quát các phân phối xác suất "cổ điển", có thể được biểu thị bằng trường hợp đặc biệt của ma trận đường chéo dương với dấu vết 1).
   
   Điều quan trọng về điều này là, trong khi các trạng thái lượng tử thường được mô tả là "lớn theo cấp số nhân", điều này là do chúng thường được mô tả bằng cách sử dụng các cấu trúc toán học giống như phân phối xác suất; tại sao phân phối xác suất không được mô tả là "lớn theo cấp số nhân" theo cách tương tự là không rõ ràng (nhưng cuối cùng không quan trọng). Khó khăn trong việc mô phỏng các trạng thái lượng tử xuất phát từ thực tế này, cùng với thực tế là các hệ số phức tạp của các phân phối ^{2 2 này} (hoặc các thuật ngữ ngoài đường chéo phức tạp của các toán tử mật độ, nếu bạn thích) có thể hủy theo cách mà xác suất không thể , ước tính của họ khó khăn hơn.

3. Sự vướng víu chỉ là một hình thức tương quan. Đối với tính toán xác suất trên các chuỗi boolean, các trạng thái "thuần" duy nhất (có thể được ánh xạ bởi các phép biến đổi bảo toàn thông tin thành phân phối cực đại delta trên 000 ... 0) là "cơ sở tiêu chuẩn" của các phân phối đạt đỉnh delta trên chuỗi boolean khác nhau. Do đó, cơ sở này của ℝ ₊ ^{2 n}được phân biệt. Nhưng không có cơ sở phân biệt nào như vậy trong cơ học lượng tử, theo như chúng ta có thể nói --- điều này rõ ràng nhất đối với các bit lượng tử (tìm kiếm các hạt spin 1/2, nếu bạn muốn biết tại sao). Kết quả là, có nhiều biến đổi bảo tồn thông tin hơn chỉ là hoán vị: trên thực tế, một nhóm liên tục của chúng. Điều này cho phép các máy tính lượng tử có thể biến đổi các trạng thái theo cách không thể đối với các máy tính có xác suất, có thể có được lợi thế tiệm cận so với chúng.
   
   Nhưng những gì về sự vướng víu, mà nhiều người thấy bí ẩn, và tuyên bố là nguyên nhân của sự tăng tốc của máy tính lượng tử so với cổ điển? "Sự vướng víu" ở đây thực sự chỉ là một dạng tương quan: giống như hai biến ngẫu nhiên có tương quan nếu phân phối của chúng là sự kết hợp lồi của nhiều hơn một phân phối sản phẩm (với các biên khác nhau trên mỗi biến), hai "biến lượng tử" bị vướng víu phân phối là sự kết hợp tuyến tính (với đơn vị ²-norm) của hai bản phân phối sản phẩm hợp lệ; đó là cùng một khái niệm theo một chuẩn mực khác nhau và đóng một vai trò tương tự trong các nhiệm vụ truyền thông. (Ví dụ: "dịch chuyển tức thời lượng tử" trong giao tiếp lượng tử tương ứng với mã hóa và giải mã tin nhắn bằng cách sử dụng bộ đệm một lần theo cách cổ điển.) Đây là một dạng tương quan tổng quát hơn chỉ là các bit tương quan kinh điển; nhưng cách duy nhất để chỉ ra điều này là các mối tương quan được mã hóa ở trạng thái vướng mắc áp dụng cho nhiều hơn một cơ sở đặc quyền . Theo cách nói, sự vướng víu là hậu quả của việc không có cơ sở đặc quyền.
   
   Mọi người thích gọi vướng víu là yếu tố chính của tính toán lượng tử, nhưng điều này đơn giản là dường như không giữ được nước: đã có kết quả cho thấy rằngsự vướng víu không quan trọng về mặt định lượng đối với thuật toán của Shor đối với các số nguyên lớn và thực sự hệ thống lượng tử có thể có quá nhiều sự vướng víu có ích cho việc tính toán. Trên thực tế, ở mọi nơi tôi nhận thấy sự vướng víu đó đóng vai trò quan trọng trong giao thức lượng tử về cơ bản là một trong giao tiếp (trong đó các mối tương quan sẽ được dự kiến ​​sẽ đóng vai trò quan trọng đối với giao thức cổ điển).

Tại thời điểm này, tôi bắt đầu lội vào miền ý kiến ​​cá nhân, vì vậy tôi sẽ dừng ở đây. Nhưng hy vọng, những nhận xét này có thể làm mất đi một số điều mơ hồ về tính toán lượng tử và cách nó được mô tả.

Lance Fortnow đã viết một bài báo giải thích về điện toán lượng tử mà không sử dụng cơ học lượng tử. Ông trình bày về cơ bản giống như cách người ta trình bày tính toán xác suất. Tôi nghi ngờ đây có thể là điểm khởi đầu nhanh hơn so với Nielson và Chuang (mặc dù tôi đồng ý rằng nếu bạn muốn thực sự đi sâu vào vấn đề này thì Nielson và Chung chắc chắn nên có trong danh sách đọc của bạn).

L. Fortnow. Một quan điểm lý thuyết phức tạp về điện toán lượng tử. Khoa học máy tính lý thuyết, 292 (3): 597-610, 2003. Vấn đề đặc biệt của các bài báo được trình bày tại hội thảo thứ hai về Thuật toán trong Xử lý thông tin lượng tử.

Vâng, văn bản tiêu chuẩn được sử dụng là Tính toán lượng tử và Thông tin lượng tử của Nielsen và Chuang. Nó bao gồm khá nhiều khía cạnh khác nhau ở mức hợp lý. Gần như tất cả mọi người làm việc trong lĩnh vực này đều có một bản sao này trên kệ của họ. Cuốn sách Kaye, Laflamme và Mosca cũng tốt, nhưng ít bao quát hơn (mặc dù có một chút tập trung vào các thuật toán).

Mặc dù hoàn toàn có thể giải thích điện toán lượng tử mà không cần đi sâu vào cơ học lượng tử, tôi không nghĩ rằng đây thực sự là một cách tốt để tiếp cận việc học tính toán lượng tử. Có khá nhiều trực giác để có được bằng cách cảm nhận về lý thuyết vật lý, vì nhiều mô hình tính toán lượng tử gần đây (ví dụ như mô hình dựa trên tính toán, tôpô và đo lường) được thúc đẩy vật lý nhiều hơn so với máy Turing lượng tử hoặc mô hình mạch.

Điều đó nói rằng, cơ học lượng tử cần thiết để hiểu tính toán lượng tử là khá đơn giản, và được bao phủ khá tốt ở Nielsen và Chuang. Thực sự, bạn có thể có được cảm giác tốt cho nó đọc qua chương liên quan và thử các bài tập. Đó là điều mà bạn có thể có được sự hiểu biết công bằng với một vài ngày làm việc. Tuy nhiên, lời khuyên của tôi là đừng đi tìm một văn bản giới thiệu tiêu chuẩn cho cơ học lượng tử. Cách tiếp cận được thực hiện để mô hình các nguyên tử, phân tử và vật liệu sử dụng các hệ chiều vô hạn và mất khá nhiều nỗ lực để vượt lên. Đối với thông tin lượng tử, đó là một khởi đầu tốt hơn nhiều để xem xét các hệ chiều hữu hạn. Ngoài ra, theo truyền thống, các vấn đề được nghiên cứu bởi các nhà vật lý có xu hướng xoay quanh việc tìm trạng thái cơ bản và hành vi trạng thái ổn định, và đây là những gì hầu hết các văn bản giới thiệu sẽ bao gồm (bắt đầu với phương trình sóng Schroedinger độc lập với thời gian). Đối với điện toán lượng tử, chúng ta có xu hướng quan tâm nhiều hơn đến sự tiến hóa theo thời gian của các hệ thống, và điều này được xử lý ngắn gọn hơn nhiều trong các văn bản điện toán lượng tử so với các văn bản giới thiệu cơ học lượng tử nói chung (theo định nghĩa chung hơn).

$BQP$

$|\phi\rangle$$\cal{H_2}$$\cal{H_2} \otimes ... \otimes \cal{H_2}$$|\psi\rangle$$U$$square$

Để có phần giới thiệu sâu hơn, vui lòng xem sách giáo khoa tiêu chuẩn Nielsen và Chuang.

Đầu tiên, bạn sẽ cần hiểu vật lý lượng tử.

Một vài khuyến nghị:

1. " Máy tính lượng tử cho các nhà khoa học máy tính " của Noson S. Yanofsky và Mirco A. Mannucci
2. "Giới thiệu về tính toán lượng tử" của Phillip Kaye, Raymond Laflamme và Michele Mosca

Và trên khía cạnh thú vị hơn của mọi thứ, "Lối tắt xuyên thời gian: Con đường dẫn đến máy tính lượng tử" của George Johnson.

Bạn có thể có một lời giới thiệu hay trong bài viết "Giới thiệu về máy tính lượng tử cho những người không phải là nhà vật lý" của Eleanor Rieffel và Wolfgang Polak. Nó có thể hơi cũ, tuy nhiên nó vẫn là một giới thiệu tốt, ngắn gọn, khép kín về chủ đề: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9809016

Một bài viết khác, được tóm tắt nhiều hơn nữa là "Tính toán lượng tử được giải thích cho mẹ tôi" của Pablo Arrighi tại http://arxiv.org/abs/quant-ph/0305045

Có lẽ bạn đã biết về điều này, nhưng trên blog của mình , Scott Aaronson có các liên kết đến số bài giảng khóa học của ông về điện toán lượng tử, cũng như các liên kết đến các đoạn mồi QC của người khác (chỉ cần cuộn xuống thanh bên phải để tìm những thứ này) .

Nếu bạn muốn giới thiệu thời lượng sách, nhưng thứ gì đó nhẹ nhàng hơn một văn bản như Nielsen và Chuang, tôi sẽ đề xuất Máy tính lượng tử cho các nhà khoa học máy tính của Yanofsky và Mannucci. Họ dành một lượng thời gian hợp lý để xem xét các điều kiện tiên quyết toán học trước khi đi sâu vào chính QC. Nếu bạn có một nền tảng toán học mạnh mẽ, cuốn sách này có vẻ quá cơ bản, nhưng tôi thấy nó khá hữu ích.

Nói chung, tôi muốn lời khuyên thứ hai của Joe. Nhưng để giới thiệu nhanh, tôi đã đưa các văn bản của Lance Fortnow và Stephen Fenner vào danh sách đọc của các nhà khoa học máy tính sẽ trở thành lượng tử.

Nếu bạn khá tiến bộ, bạn có thể bắt đầu với khảo sát de Wolf-Drucker về các phương pháp lượng tử cho các vấn đề cổ điển. Đó là một cách tốt để hiểu các kỹ thuật lượng tử trước khi bạn gặp vấn đề lượng tử .

Tôi không nghĩ bạn cần học cơ học lượng tử. Tuy nhiên, nó phụ thuộc vào lĩnh vực bạn muốn làm việc. Có những lĩnh vực thực sự cần kiến ​​thức về cơ học lượng tử, tuy nhiên, ví dụ như lĩnh vực tôi làm việc, lý thuyết loại và tính toán lambda, tôi không cần nó, tôi có thể làm điều đó chỉ cần biết một số mô hình tính toán cho nó.

Bên cạnh văn bản tiêu chuẩn của mình với Chuang, Michael Nielsen còn có một loạt các bài giảng video trên Youtube có tên là Lượng tử tính toán cho Xác định mà cho đến nay đưa ra một cái nhìn tổng quan về mô hình tính toán. Các video rất dễ xem cho bất cứ ai có một chút hiểu biết về khoa học máy tính và đại số tuyến tính.