Đếm số lượng đỉnh của đỉnh: khi nào thì khó?

Hãy xem xét bài toán hoàn thành # P về việc đếm số lượng đỉnh của một đồ thị đã cho .$G = (V, E)$

Tôi muốn biết liệu có bất kỳ kết quả nào cho thấy độ cứng của vấn đề đó thay đổi như thế nào với một số tham số của (ví dụ: ).$G$$d = \frac{|E|}{|V|}$

Cảm giác của tôi là vấn đề sẽ dễ dàng hơn cả khi thưa thớt và khi dày đặc, trong khi nó sẽ khó khăn khi "ở giữa". Đây đúng là tình trạng đó phải không?G $G$$G$$G$

Vấn đề #VC về tính toán số lượng đỉnh của một đồ thị đã cho vẫn là # P-hard cho các đồ thị 3 thông thường; xem ví dụ [Greeoping, 2000].

Để chứng minh rằng vấn đề #VC vẫn # P-cứng cho đồ thị với ít nhất $c\cdot n$ cạnh, nơi $n$ là số đỉnh và $0<c<3/2$ , giảm từ trường hợp 3 thường xuyên bằng cách thêm một đủ lớn bộ độc lập (có kích thước tuyến tính). Số lượng nắp đỉnh vẫn giữ nguyên nếu bạn thêm một bộ độc lập.

Tương tự như vậy, để cho thấy rằng vấn đề #VC vẫn # P-cứng cho đồ thị với ít nhất $c\cdot n^2$ cạnh, nơi $n$ là số đỉnh và $0<c<1/2$ , giảm từ #VC bằng cách thêm một đủ lớn thành phần clique (có kích thước tuyến tính). Số lượng bìa đỉnh được nhân với $p+1$ nếu bạn thêm một cụm kích thước $p$ vào biểu đồ.

Catherine S. Greenhill: Sự phức tạp của việc đếm màu và các bộ độc lập trong các biểu đồ thưa thớt và siêu dữ liệu . Độ phức tạp tính toán 9 (1): 52-72 (2000)

Theo câu trả lời của Yaroslav, Luby và Vigoda là những người đầu tiên hiển thị FPRAS cho #IS trong điều kiện mật độ (mức tối đa 4, mà tôi cho là yếu hơn kết quả của Weitz), trong khi Dyer, Frieze và Jerrum cho thấy không có FPRAS cho #IS nếu mức độ tối đa của biểu đồ là 25 trừ khi RP = NP.

Người giới thiệu:

Martin Dyer, Alan Frieze và Mark Jerrum. Về việc đếm các bộ độc lập trong đồ thị thưa thớt. FOCS 1999.

Michael Luby và Eric Vigoda. Khoảng đếm đến bốn. STOC 1997.

Xem thêm ghi chú bài giảng ETH của Jerrum, "Đếm, lấy mẫu và tích hợp: thuật toán và độ phức tạp".

$n$$d$$d$$f(d,\epsilon)\cdot n$$\exp(\epsilon n)$$d$$2$-Sat (tương đương với việc đếm các tập độc lập và đếm các đỉnh đỉnh).

$n$$\exp(o(n))$

Tập hợp là một đỉnh đỉnh nếu phần bổ sung của nó là một tập độc lập, do đó, vấn đề này tương đương với việc đếm các tập độc lập.

Đếm đại số của các tập độc lập là FPT cho các đồ thị có giới hạn giới hạn giới hạn. Ví dụ, xem "Một đa thức xen kẽ đa biến và tính toán của nó cho các đồ thị có độ rộng giới hạn", trong đó chúng tính toán tổng quát của đa thức độc lập. Cộng các hệ số của đa thức độc lập sẽ cho số lượng tập độc lập.

Đồ thị với độ 3 tối đa có thể có chiều rộng không giới hạn.

$d$$\lambda$

_{(nguồn: yaroslavvb.com )}

$\lambda=1$

$d$$\lambda$$d$