Tìm một số nguyên tố lớn hơn một giới hạn nhất định

Là một thuật toán đa thức thời gian xác định được biết cho vấn đề sau:

Đầu vào: một số tự nhiên (trong mã hóa nhị phân)$n$

Đầu ra: một số nguyên tố .$p > n$

(Theo danh sách các vấn đề mở của Leonard Adeld, vấn đề đã được mở vào năm 1995.)

Kết quả vô điều kiện tốt nhất hiện nay đã được đưa ra bởi Odlyzko, mà tìm thấy một số nguyên tố trong O ( N 1 / 2 + o ( 1 ) ) thời gian. Giả thuyết mạnh mẽ trong dự án Polymath4 tìm cách giải quyết nếu điều này có thể được thực hiện trong thời gian đa thức, theo các giả định lý thuyết số hợp lý như GRH.$p >N$$O(N^{1/2 + o(1)})$

http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

Hiện tại dự án tìm cách trả lời câu hỏi sau:

Cho một số và một khoảng thời gian giữa N và 2 N , kiểm tra trong thời gian O ( N 1 / 2 - c ) đối với một số c > 0 nếu khoảng chứa một nguyên tố.$N$$N$$2N$$O(N^{1/2 - c})$$c>0$

Cho đến nay, họ có một chiến lược xác định tính chẵn lẻ của số lượng các số nguyên tố trong khoảng.

http://polymathprojects.org/2010/06/29/draft-version-of-polymath4-apers/

Giả sử phỏng đoán tiêu chuẩn trong lý thuyết số, trong đó nêu rõ rằng

Phỏng đoán của Cramér : Gọi là số nguyên tố thứ n. Khi đó p n + 1 - p n = O ( log 2 p n ) .$p_n$$p_{n+1}-p_n = O(\log^2 p_n)$

Chúng tôi có một thuật toán thời gian đa thức xác định cho vấn đề, chỉ đơn giản bằng cách chạy thử nghiệm nguyên thủy trên mỗi số lớn hơn bắt đầu từ n + 1 . (Tất nhiên, n nên đủ lớn; đối với n nhỏ chúng tôi đã xử lý riêng.)$n$$n+1$$n$$n$

Nhưng tôi không chắc điều này có thể được chứng minh vô điều kiện.