Có mối liên hệ nào giữa định mức kim cương và khoảng cách của các quốc gia liên quan không?

Trong lý thuyết thông tin lượng tử, khoảng cách giữa hai kênh lượng tử thường được đo bằng định mức kim cương. Ngoài ra còn có một số cách để đo khoảng cách giữa hai trạng thái lượng tử, chẳng hạn như khoảng cách theo dõi, độ trung thực, v.v ... Sự đồng hình Jamiołkowski cung cấp sự đối ngẫu giữa các kênh lượng tử và trạng thái lượng tử.

Điều này rất thú vị, đối với tôi, ít nhất, bởi vì định mức kim cương nổi tiếng là khó tính, và sự đồng hình Jamiołkowski dường như ngụ ý một số mối tương quan giữa các thước đo khoảng cách của các kênh lượng tử và trạng thái lượng tử. Vì vậy, câu hỏi của tôi là: Có bất kỳ mối quan hệ được biết đến giữa khoảng cách trong định mức kim cương và khoảng cách giữa các trạng thái liên quan (trong một số biện pháp)?

quantum-computing it.information-theory quantum-information

— Joe Fitzsimons
nguồn

Tôi không chắc ý của bạn về định mức kim cương là rất khó tính toán. Nếu bạn được cung cấp một kênh lượng tử như một ma trận rõ ràng (đại diện Choi-Jamiołkowski của nó), có thể xây dựng hình vuông của định mức kim cương của nó như một chương trình semidefinite; xem Phần 20.4 của bài giảng của John Watrous . Theo nghĩa đó, định mức kim cương có một phương tiện hiệu quả để tính toán.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Tôi chỉ đề cập đến tối ưu hóa ngầm. Tôi không có nghĩa là khó tính toán, nhưng khá khó xử khi làm việc.

— Joe Fitzsimons

Đây là những ghi chú bài giảng rất hay, như một bên.

— Suresh Venkat

@Suresh @Tsuyoshi: Vâng, chúng là những ghi chú tuyệt vời, nhưng tôi không nghĩ họ trả lời câu hỏi đặc biệt này.

— Joe Fitzsimons

@TsuyoshiIto: vì một số lý do, phần cuối cùng trong các slide QIP là 20.3, bạn đã có một bộ bài giảng hoàn chỉnh hơn chưa?

— Artem Oboturov

Câu trả lời:

Đối với một kênh lượng tử , chúng ta hãy viết để biểu thị trạng thái liên quan: $\Phi$ $J(\Phi)$ Ở đây chúng ta giả định rằng kênh maps(ví dụ,ma trận phức tạp) đểđối với bất cứ sự lựa chọn của số nguyên dươngvàbạn như thế nào. Ma trận

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$ đôi khi được gọi là ma trận Choi hoặc Choi-Jamiolkowski đại diện của

, nhưng nó là thường xuyên hơn rằng những thuật ngữ này được sử dụng khi

Φ

$\Phi$

bình thường hóa

được bỏ qua.

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

$\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

(Lưu ý rằng định nghĩa trên không hoạt động đối với ánh xạ tùy ý, chỉ những định dạng có dạng đối với bản đồ hoàn toàn tích cực và . Đối với ánh xạ chung, supremum được lấy trên tất cả các ma trận có chỉ tiêu theo dõi 1, trái ngược với ma trận mật độ.) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Nếu bạn không có bất kỳ giả định bổ sung nào trên các kênh, bạn không thể nói quá nhiều về cách các tiêu chuẩn này liên quan đến các giới hạn thô này: Đối với bất đẳng thức thứ hai, về cơ bản, người ta sẽ giải quyết cho sự lựa chọn cụ thể thay vì lấy quyền tối cao trên tất cả

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ . Bất bình đẳng đầu tiên là khó khăn hơn về giá thầu, nhưng nó sẽ là một câu hỏi chuyển nhượng hợp lý cho một khóa học sau đại học về thông tin lượng tử. (Tại thời điểm này tôi nên cảm ơn bạn về câu hỏi của bạn, bởi vì tôi hoàn toàn có ý định sử dụng câu hỏi này trong đề nghị mùa thu của khóa học lý thuyết thông tin lượng tử của tôi.)

Bạn có thể đạt được bất bình đẳng cho một lựa chọn kênh thích hợp và , ngay cả với giả định bổ sung rằng các kênh hoàn toàn có thể phân biệt được (có nghĩa là ). $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— John Watky
nguồn

Cảm ơn John, câu trả lời của tôi hoàn hảo, và đã tiết kiệm cho tôi rất nhiều thời gian.

— Joe Fitzsimons

Bạn cũng có thể muốn xem xét các thước đo Khoảng cách để so sánh các quá trình lượng tử thực và lý tưởng arXiv: quant-ph / 0408063 , đưa ra một cái nhìn tổng quan về các thước đo khoảng cách cho các kênh lượng tử và mối quan hệ của chúng.

Họ sử dụng thuật ngữ khoảng cách S cho khoảng cách kim cương và khoảng cách J cho khoảng cách theo dõi của các nhà khai thác Jamiołkowski liên quan đến các kênh.

— Antonio Valerio Miceli-Barone
nguồn

Tôi thích nghĩ về sự bất bình đẳng đầu tiên mà Watpy đã viết về mặt dịch chuyển tức thời của kênh xác suất. Nếu bạn diễn giải định mức kim cương là thước đo xác suất lỗi nhỏ nhất trong các kênh phân biệt và và định mức theo dõi tương đương với trạng thái Jamiolkowski của họ, bạn luôn có thể thực hiện chiến lược tối ưu cho các kênh từ trạng thái tương ứng của họ với xác suất thành công. Đặt điều này một cách chặt chẽ có thể là một cách để chứng minh sự bất bình đẳng. $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

Ngoài ra, cách suy nghĩ này cho thấy rằng nếu các kênh có thể được dịch chuyển tức thời (chẳng hạn như các kênh Pauli), thì định mức kim cương của chúng bằng khoảng cách theo dõi của Jamiolkowski.

— Alex Monras
nguồn