Có một định lý phân cấp thời gian cho PH?

Có đúng là có các vấn đề trong hệ thống phân cấp đa thức có thể giải quyết được trong thời gian (bởi một máy Turing xen kẽ ở một mức độ nào đó của hệ thống phân cấp đa thức) không thể giải quyết được trong trong bất kỳ cấp độ của hệ thống phân cấp đa thức? Nói cách khác - có tồn tại một định lý phân cấp thời gian cho hệ thống phân cấp đa thức giống như đối với P và NP không? Nếu có - một tài liệu tham khảo sẽ là tuyệt vời. $O(n^k)$ $O(n^{k-1})$

Khó khăn tôi gặp phải là máy mô phỏng, khi mô phỏng các máy từ tất cả các cấp của hệ thống phân cấp, không nằm trong bất kỳ cấp độ khác biệt nào của hệ thống phân cấp. Điều đó dẫn đến một câu hỏi liên quan - lớp mô phỏng nhỏ nhất như vậy thuộc về máy nào? Có bất kỳ ý nghĩa nào trong việc định nghĩa một lớp với các thay thế (hoặc / ) không? $O(n)$ $O(\log n)$ $O(\log \log n)$

— Giuse
nguồn

Việc sử dụng số lượng xen kẽ tuyến tính mang lại cho bạn PSPACE, vì Công thức định lượng Boolean đã hoàn tất PSPACE.

— Derrick Stolee

Câu trả lời:

Đúng. Ví dụ, bằng chứng thông thường của định lý thời gian hệ thống phân cấp (bằng cách trực tiếp mô phỏng máy tùy ý) có thể được sử dụng để chứng minh rằng đối với mỗi , không phải là một tập hợp con của . Lý do cho việc chuyển đổi từ để $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Pi_c TIME[n^{k-1}]$ $\Sigma$ $\Pi$ là, trong đối số đường chéo này, chúng ta phải thực hiện "đối diện" với máy mà chúng ta đang mô phỏng, vì vậy chúng ta phải chạy ở chế độ phổ quát khi máy mô phỏng ở chế độ tồn tại và ngược lại.

Bạn cũng có thể có được một kết quả như thế này mà không cần chuyển đổi từ để : cho mỗi , không phải là một tập hợp con của . Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng bằng chứng về hệ thống phân cấp thời gian do Zak (tham khảo: " Hệ thống phân cấp thời gian của máy Turing ", Khoa học máy tính lý thuyết 26 (3): 327--333, 1983). Để tham khảo rõ ràng cho phiên bản này của định lý phân cấp thời gian, xem "s" $\Sigma$ $\Pi$ $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Sigma_c TIME[n^{k-1}]$ Dieter van Melkebeek Một khảo sát về giới hạn dưới cho sự hài lòng và các vấn đề liên quan "(có sẵn trên trang chủ của anh ấy).

— Ryan Williams
nguồn

Câu trả lời này thể hiện rất rõ sự tồn tại của một định lý phân cấp thời gian cho mọi cấp độ khác nhau của hệ thống phân cấp. Điều này không ngay lập tức chỉ ra sự hiện diện của một định lý như vậy đối với PH nói chung.

— Joseph

Câu hỏi mạnh mẽ hơn của bạn sẽ khó giải quyết một cách khẳng định; nó sẽ bao hàm

. Giả sử có một

và một ngôn ngữ

trong

không có trong

với mọi

. Rồi

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

c

$c$

L

$L$

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{k - 1}]

$\Sigma_d TIME[n^{k-1}]$

d

$d$

. Điều này là do mọi ngôn ngữ

đều nằm trong

đối với một số

tùy thuộc vào

(bởi một đối số loại định lý Savitch). Vậy nếu

thì thực tế mọi ngôn ngữ trong

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

L \in L O G S P A C E

$L \in LOGSPACE$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

L

$L$

L O G S P A C E = N P

$LOGSPACE = NP$

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$ nằm trong

đối với một số

, mâu thuẫn với những gì bạn muốn thể hiện.

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

— Ryan Williams

Câu trả lời cho câu hỏi sửa đổi (sửa đổi 4 câu hỏi) là không. Nếu một vấn đề quyết định L có thể giải quyết được trong thời gian O ( n ^k ) bởi máy ∑ _i P, thì L có thể được giải quyết trong thời gian tuyến tính bằng máy Turing có nguồn gốc cho L , đó là máy _{i +1} P. Do đó, TIME _i TIME [O ( n ^k )] _{i +1} TIME [O ( n )].

— Tsuyoshi Ito
nguồn

Không, đây không phải là cách định nghĩa của

hoạt động. Nếu

cho tất cả

, sau đó

. Nếu

Σ_{j} T I M E [t (n)]

$\Sigma_j TIME[t(n)]$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

N P \neq c o N P

$NP \neq coNP$

và

với mọi

, hãy để

là chạy thời gian của một số thuật toán không điều kiện cho Tautology. Sau đó, chúng ta có

N P = c o N P

$NP = coNP$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

O (n^{c})

$O(n^c)$

N T I M E [O (n^{c^{2}})] \subseteq Σ_{2} T I M E [O (n)] \subseteq N T I M E [O (n^{c})]

$NTIME[O(n^{c^2})] \subseteq \Sigma_{2} TIME[O(n)] \subseteq NTIME[O(n^{c})]$ , where the first inclusion is by assumption and the second inclusion follows from a standard simulation argument. This is a contradiction.

— Ryan Williams

@Ryan: The definition I used is: L∈ΣiTIME[t(n)] iff there exist a language O∈Σ(i−1)P and a nondeterministic t(n)-time Turing machine with the oracle for O that recognizes L. I thought that this is the standard definition, but I do not have any reference to back up my claim. What is the definition you are using?

— Tsuyoshi Ito

The definition is:

L \in Σ_{i} T I M E [t (n)]

$L \in \Sigma_i TIME[t(n)]$ iff there is a linear time predicate

R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$R(x,y_1,\ldots,y_i)$ such that

x \in L ⟺ (\exists y_{1} : | y_{1} | \leq t (| x |)) \dots (\forall y_{i} : | y_{i} | \leq t (| x |)) R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$x \in L \iff (\exists y_1 : |y_1|\leq t(|x|))\cdots (\forall y_i : |y_i| \leq t(|x|))R(x,y_1,\ldots,y_i)$ is true.

— Ryan Williams

@Ryan: Ok, I did not know that definition. If that is what the asker wanted to ask, my answer does not apply.

— Tsuyoshi Ito