Hậu quả của các vấn đề hoàn chỉnh đối với NP giao cắt coNP

Hậu quả của việc có vấn đề hoàn toàn trong gì?$NP\cap coNP$

Đây là một vấn đề mở (rộng); như trong, chúng tôi gần như không biết gì. Cụ thể, vì trickiness trong minh $NP \cap coNP$ vấn đề -complete, chúng tôi cần các kỹ thuật bằng chứng rất khác so với hiện nay tồn tại. Như vậy, một cuộc thảo luận về hậu quả sẽ bao gồm một cách hợp lý một tiếp tuyến về "Điều gì có nghĩa là có các kỹ thuật chứng minh mới, mạnh mẽ như vậy?"

Đối với một cuộc thảo luận tương đối gần đây về chủ đề này, có cột NP-Hoàn thành thứ 26 của David Johnson trong Giao dịch ACM về Thuật toán từ năm 2007 ( PDF ). Cho phép tôi diễn giải một số điều David nói về câu hỏi chứng minh sự tồn tại của $NP \cap coNP$ -complete 'và thêm suy nghĩ của tôi:

Hiện tại, chúng tôi chỉ có các ứng cử viên tự nhiên "yếu", làm thành viên trong $NP \cap coNP - P$ theo nghĩa là bằng chứng mạnh nhất cho tư cách thành viên của họ là chúng tôi chưa tìm được thuật toán thời gian đa thức cho họ. Anh ấy liệt kê một vài ứng cử viên: YẾU TỐ NHỎ, TRÒ CHƠI ĐƠN GIẢN và TRÒ CHƠI Ý NGH .A. Một số phụ "weirdness" của những vấn đề này xuất phát từ lần chạy dựa trên kinh nghiệm tốt nhất để giải quyết chúng, ví dụ như factor nhỏ, hay còn gọi là INTEGER Factor $\le k$ , có độ phức tạp thời gian ngẫu nhiên của $poly(n) 2^{\sqrt{k log(k)}}$ . (Nếu các vấn đề hoàn toàn tồn tại trong$NP \cap coNP - P$, thì đócó phải là cấp số nhân(không hoàn toàn theo cấp số nhân, cũng không phải đa thức)của lớp không?)

Vì vậy, đặc biệt, chúng tôi muốn chứng minh cái gì đó như: vấn đề A là duy nhất ở $P$ khi và chỉ khi $NP \cap coNP = P$ , tức là một đầy đủ kết quả như định lý Cook cho 3SAT và $NP$ . Đối với $NP$ , các bằng chứng như vậy thường liên quan đến việc giảm thời gian đa thức (và khắc phục yêu thích của bạn, các hạn chế bổ sung, ví dụ: Giảm Cook, giảm Karp). Kết quả là, theo các kỹ thuật giảm thời gian đa thức, phải có trường hợp tồn tại một đại diện nhận dạng thời gian đa thức của lớp. Đối với $NP$ , chúng ta có thể sử dụng các máy Turing không xác định tạm dừng trong đa thức, $p(|x|)$ , số bước. Như David chỉ ra, chúng ta có cơ quan đại diện tương tự cho các lớp khác (trong đó tình trạng này là rõ ràng hơn) như$PSPACE$ và#$P$ .

Tuy nhiên, khó khăn khi cung cấp một đại diện tương tự cho $NP \cap coNP$ là tương tự "tự nhiên" cho phép chúng ta nhúng Vấn đề Ngừng trong biểu diễn và do đó không thể giải quyết được . Đó là, xem xét nỗ lực sau đây để đại diện cho $NP \cap coNP$ với hai máy Turing không xác định, có ý nghĩa, nhận ra các ngôn ngữ bổ sung:

Câu hỏi: Có một máy Turing $M^*$ dừng lại trên đầu vào $x \in {0,1}^n$ ?

Xây dựng hai máy Turing thời gian tuyến tính $M_1$ và $M_2$ như sau. Trên đầu vào $y$ , $M_1$ đọc đầu vào và luôn chấp nhận. $M_2$ luôn từ chối trừ khi $|y| \ge |x|$và $M^*$ chấp nhận $x$ trong các bước $\le |y|$.

Do đó, $M_1$ và $M_2$ chấp nhận ngôn ngữ bổ sung khi và chỉ khi $M^*$ không ngừng trên đầu vào $x$ . Do đó, do mâu thuẫn, việc quyết định xem hai máy Turing có thời gian đa thức có chấp nhận các ngôn ngữ bổ sung hay không là điều không thể giải quyết được.

Vì vậy, biểu diễn "tự nhiên" của các vấn đề $NP \cap coNP$ không thể nhận ra theo thời gian đa thức. Câu hỏi còn lại: Làm thế nào để bạn đại diện $NP \cap coNP$ vấn đề như vậy rằng họ là thời gian đa thức dễ nhận biết?

Hiện chưa có công việc quan trọng được thực hiện về vấn đề này, nhưng độ phân giải thành công của nó là cần thiết để chứng minh đầy đủ trong $NP \cap coNP$ . Do đó, tôi cho rằng sự tồn tại của một kỹ thuật bằng chứng cho thấy có thể giải quyết đầy đủ của $NP \cap coNP$ sẽ là câu chuyện lớn hơn ở đây - không phải là "tự động" Kết quả của $NP \cap coNP$ vấn đề -complete ( ví dụ, các lớp phức tạp, có lẽ, sụp đổ) mà chúng ta đã biết (hoặc đúng hơn, sẽ nhận thức được , theo giả thuyết trong tương lai).