Độ cứng của vấn đề FPT

13

Vertex Cover có thể dễ dàng được giảm xuống thành Bộ độc lập và ngược lại.

Tuy nhiên, trong bối cảnh phức tạp được tham số hóa, bộ Độc lập khó hơn Vertex Cover. Một hạt nhân có $2k$ đỉnh tồn tại cho Vertex Cover, nhưng Bộ độc lập là W 1 cứng.

Bản chất của Set độc lập thay đổi như thế nào trong bối cảnh của FPT và tại sao?

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Nikhil
nguồn

9

Ý tưởng chính của câu trả lời: nếu chúng ta giảm một thể hiện của Bộ độc lập được tham số hóa thành Vertex Cover được tham số hóa, thì tham số mà chúng ta kết thúc phụ thuộc vào kích thước của biểu đồ và không chỉ phụ thuộc vào tham số đầu vào. Bây giờ để biết thêm chi tiết.

Như bạn đã biết, một vấn đề được tham số hóa nằm trong (thống nhất) FPT nếu có một thuật toán quyết định liệu đầu vào có được chứa trong trong thời gian cho một số chức năng . $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

Vì bạn có thể quyết định xem đồ thị có nắp đỉnh có kích thước bằng cách chọn một cạnh và phân nhánh trên hai điểm cuối của nó để đặt vào nắp đỉnh, nên nhánh này chỉ đi sâu (nếu không bạn đặt nhiều hơn các đỉnh trong nắp) và dễ dàng chạy trong thời gian ; do đó -Vertex Cover nằm trong FPT. $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

Bây giờ, giả sử chúng tôi muốn thử sử dụng thuật toán này để hiển thị rằng Bộ độc lập được tham số hóa có trong FPT; giả sử chúng ta được cho một đồ thị trên đỉnh và muốn quyết định cho dù đó có một bộ phụ thuộc vào kích thước . Đây là tương đương với hỏi liệu có nắp đỉnh của kích thước . Vì vậy, chúng tôi sử dụng thuật toán trên của chúng tôi để tính toán câu trả lời trong thời gian . Đối với thuật toán FPT của chúng tôi, hàm mũ trong thời gian chạy có thể phụ thuộc vào các tham số, đó là , nhưng nó có thể không phụ thuộc vào kích thước của đầu vào, đó là $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ ; nhưng cách tiếp cận chúng tôi phác thảo sử dụng thời gian theo cấp số nhân trong và do đó không phải là một tham số đối với các tham số với FPT . Đây là lý do tại sao thực tế là Vertex Cover ở FPT không ngụ ý rằng Bộ độc lập nằm trong FPT. $n - \ell$ $\ell$

— Bart Jansen
nguồn

Cảm ơn vì tất cả những hồi đáp. Trong bối cảnh phức tạp được tham số hóa, tôi hiểu ý tưởng khi tôi cố gắng nghiên cứu độ cứng của bộ Độc lập, lý do từ Vertex Cover. Tuy nhiên, tôi không tìm thấy bất kỳ lời giải thích nào về Bộ độc lập, độc lập với bối cảnh của vỏ bọc Vertex? Có một cái gì đó trong cấu trúc (hoặc bản chất vốn có) của việc tìm một Bộ độc lập làm cho nó khó hơn?

— Nikhil

Bart, tại sao không có tham số

mà việc giảm hoạt động như mong muốn?

k

$k$

— Raphael

@Raphael: Bạn có thể làm rõ câu hỏi của bạn? Các tham số duy nhất "được phép" theo câu hỏi của OP là kích thước giải pháp tương ứng. Nếu chúng ta cho phép các tham số tùy ý, thì có rất nhiều mức giảm hoạt động như mong muốn (Nếu tôi hiểu chính xác cụm từ này): Ví dụ: nếu chúng ta giữ tham số là "kích thước của nắp đỉnh kích thước tối thiểu" cho cả hai vấn đề, thì cả hai đều là FPT; Đối số của MinVC by Bart và MaxInset theo cùng một đối số và sử dụng phép khử của OP. Chỉ đến khi chúng tôi khẳng định rằng tham số của MaxInset là kích thước giải pháp của nó thì vấn đề sẽ trở thành W [1] -hard.

— gphilip

Bạn hoàn toàn đánh giá thấp câu hỏi của tôi! Theo nghĩa đó, câu hỏi của OP không được đặt ra: chỉ có ý nghĩa khi nói về độ phức tạp tham số cho các cặp vấn đề và tham số (không được ghi nhận). Tôi đã lấp đầy khoảng trống bằng một "forall", nghĩa là tôi đã đọc câu trả lời của Bart theo nghĩa "cho tất cả

", và nghĩ rằng nó sai / không đầy đủ. Vì vậy, câu hỏi của tôi. Nhân tiện, câu trả lời khác có cùng một vấn đề. Rõ ràng tất cả mọi người nhưng tôi lấp đầy khoảng trống với sự lựa chọn kinh điển.

k

$k$

— Raphael

6

Tôi sẽ không nói rằng "bản chất" của vấn đề thay đổi, bất cứ điều gì được cho là có nghĩa. Tất cả những thay đổi đó là tham số, nghĩa là cách bạn đo lường độ khó của vấn đề.

Các đồ thị có đỉnh kích thước tối đa được cấu trúc sao cho có thể giảm kích thước chúng một cách hiệu quả: Chúng ta có thể tham gia một kích thước tối đa phù hợp với kích thước tối đa và phần còn lại của đồ thị là một bộ kích thước độc lập ít nhất . Sử dụng các quy tắc giảm như giảm vương miện, số lượng đỉnh có thể giảm tối đa là . $k$ $k$ $n-2k$ $2k$

Mặt khác, các đồ thị có đỉnh có kích thước tối đa (hoặc tương đương, độc lập tối đa có kích thước ít nhất ) dường như không có cấu trúc đơn giản như vậy. Điều này có thể được thực hiện chính xác, như bạn chỉ ra: cấu trúc của chúng cho phép chúng ta mã hóa bất kỳ chương trình . $n-k$ $k$ $W[1]$

— Bao da
nguồn

4

Sau đây có thể cung cấp một số trực giác cho sự khác biệt. Một tập hợp con của đỉnh S là một đỉnh của G = (V, E) khi và chỉ khi VS là một tập độc lập, vì vậy nếu MVC là kích thước của bìa đỉnh tối thiểu thì MIS = | V | -MVC là kích thước của bộ độc lập tối đa. Thuật toán FPT được tham số hóa bởi X cho phép thời gian chạy theo hàm mũ là hàm của X. Một đồ thị ngẫu nhiên trên n đỉnh với xác suất cạnh một nửa có MIS xác suất cao có kích thước khoảng 2logn và MVC có kích thước khoảng n-2logn. Do đó, ít nhất là đối với các biểu đồ này, thuật toán FPT được tham số hóa bởi MVC đơn giản cho phép nhiều thời gian hơn so với một tham số của MIS.

4

Mặc dù tôi đồng ý với những gì người khác đã nói, một cách khác mà tôi thấy hữu ích khi nghĩ về những điều này là giải quyết vấn đề như một vấn đề nhận biết, tức là "Đồ thị đầu vào có thuộc họ đồ thị có đỉnh nhất không?" / "Đồ thị đầu vào có thuộc họ đồ thị có bộ độc lập ít nhất k không?".

Theo trực giác, một họ đồ thị hạn chế hơn sẽ dễ nhận ra hơn một đồ thị phong phú hơn, tổng quát hơn. Họ đồ thị của đỉnh đỉnh nhiều nhất là k rất hạn chế, trên thực tế, mỗi đồ thị như vậy có thể được mô tả bằng cách chỉ sử dụng các bit , ít hơn nhiều so với các bit thông thường cần thiết , giả sử k nhỏ hơn đáng kể so với n. Họ đồ thị của tập độc lập ít nhất k mặt khác rất phong phú: bất kỳ đồ thị nào cũng có thể được chỉnh sửa để thuộc về nó bằng cách loại bỏ tối đa cạnh. $O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

Vì vậy, đối với tôi đây là một lời giải thích trực quan tại sao tôi mong muốn nó dễ dàng nhận ra bìa đỉnh nhỏ hơn so với tập độc lập nhỏ. Tất nhiên, rõ ràng là những suy nghĩ trên không ở gần một cuộc tranh luận chính thức và tôi đoán rằng vào cuối ngày, bằng chứng thuyết phục nhất cho thấy thực sự khó nhận ra tập kích thước k độc lập chính xác là độ cứng W độc lập bộ!

— Michael Lampis
nguồn

Làm thế nào để loại bỏ

cạnh đủ để tạo cho đồ thị một tập hợp các đỉnh

độc lập ? Tôi nghĩ bạn sẽ cần

k^{2}

$k^2$

k

$k$

nếu bạn muốn có một bộ kích thước

độc lậptrong một đồ thị hoàn chỉnh trên

đỉnh.

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

— Bart Jansen

@Bart: Đối với một tập hợp các đỉnh

độc lập , bạn chỉ cần đảm bảo rằng không có cạnh nào tồn tại giữa các đỉnh này và có tối đa

cạnh trong một sơ đồ con (đơn giản) theo thứ tự

.

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

— Mathieu Chapelle

3

Đây là một câu trả lời rất gián tiếp và có thể không hoàn toàn giải quyết mối quan tâm của bạn. Nhưng hệ thống phân cấp của FPT và W được liên kết chặt chẽ với tính gần đúng (các vấn đề của FPT thường có PTAS, v.v.). Trong bối cảnh đó, lưu ý rằng đối với bất kỳ biểu đồ nào, VC = n - MIS, và do đó, một xấp xỉ cho VC không đưa ra một xấp xỉ cho MIS. Đây là lý do tại sao bạn cần giảm L cho các xấp xỉ. Tôi nghi ngờ có một khái niệm "giảm bảo toàn hạt nhân" tương đương cho độ phức tạp được tham số hóa.

— Suresh Venkat
nguồn

Có một khái niệm "giảm thiểu bảo tồn hạt nhân" ở FPT không?

— Nikhil

Tôi không biết: do đó, trích dẫn :). Tôi đang chờ đợi các chuyên gia về sự phức tạp được tham gia để hòa nhập.

— Suresh Venkat

2

Bạn chỉ cần triệu tập nó! ;)

— Raphael

4

Có một khái niệm như vậy: một phép biến đổi thời gian và tham số đa thức. Bài toán tham số hóa P đa thức-thời gian và tham số biến đổi thành Q (đọc:

) nếu có một thuật toán thời gian đa thức đưa ra một thể hiện

của bài toán

, xuất ra thời gian đa thức tương đương

của

như vậy mà

. Việc sử dụng cho kernelization là như sau: nếu

P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$

(x, k)

$(x,k)$

P

$P$

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$

Q

$Q$

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$

,

có nhân đa thức và các phiên bản cổ điển của

và

là NP-hoàn chỉnh, sau đó

cũng có nhân poly. (dx.doi.org/10.1007/978-3-642-04128-0_57)

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$

Q

$Q$

P

$P$

Q

$Q$

P

$P$

— Bart Jansen

Một bài báo khác nêu một số mối quan hệ giữa tính gần đúng và FPT là [ dx.doi.org/10.1016/S0020-0190(97)00164-6] trong đó họ chỉ ra rằng nếu một vấn đề là W [1] -có thể không thừa nhận PTAS hiệu quả trong đó hàm mục tiêu cũng là tham số. Một PTA hiệu quả có thời gian phức tạp

, trong khi một thời gian phức tạp

không được phép. Kết quả tương tự cũng nằm trong luận án của Bazgan.

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$

— Gianluca Della Vedova