Thuật toán ba chiều - Sự tương đương của các cơ sở

Tôi đã xem qua bài báo chuyên đề của Les Valiant và tôi đã có một thời gian khó khăn với Dự luật 4.3 trên trang 10 của bài báo.

Tôi không thể hiểu tại sao nếu có một trình tạo có các giá trị nhất định cho với cơ sở , thì sẽ tồn tại một số trình tạo có cùng giá trị cho bất kỳ cơ sở ( ) hoặc ( ) đối với bất kỳ . $valG$ $\{(a_1,b_1) \ldots (a_r,b_r)\}$ $valG$ $\{(xa_1,yb_1) \ldots (xa_r,yb_r)\}$ $1^{st} kind$ $\{(xb_1,ya_1) \ldots (xb_r,ya_r) \}$ $2^{nd} kind$ $x,y \in F$

Valiant chỉ ra lý do trong đoạn trước - cụ thể là loại chuyển đổi có thể đạt được bằng cách nối thêm vào mỗi nút đầu vào hoặc đầu ra một cạnh của trọng số . Các loại chuyển đổi, Valiant nói, có thể đạt được bằng cách phụ thêm để đầu vào hay đầu ra hạch chuỗi có độ dài trọng bởi và tương ứng. $1^{st}$ $1$ $2^{nd}$ $2$ $x$ $y$

Tôi đã không thực sự có thể hiểu những tuyên bố này. Có thể chúng đã rõ ràng, nhưng tôi vẫn không thể thực sự hiểu tại sao cấu trúc trên giúp đạt được bất kỳ giá trị thể thực hiện được với một cơ sở với cơ sở mới là một trong những loại trên. $valG$

Xin hãy giúp chiếu sáng chúng cho tôi. Trên một lưu ý khác, có một số khảo sát miễn phí tenor cho các thuật toán hologaphic có sẵn trực tuyến. Hầu hết trong số họ sử dụng chất căng, điều đáng buồn là làm tôi sợ :-(

Tốt nhất -Akash

ds.algorithms counting-complexity survey

— Akash Kumar
nguồn

Các tenxơ (theo nghĩa này) chỉ là các dãy số, vì vậy tôi không nghĩ rằng bạn sẽ tìm thấy các khảo sát miễn phí tenor trừ khi chúng hoàn toàn không có tính toán.

Hoạt động " " chính thức hóa cả các hoạt động thay đổi cơ sở và gắn các tiện ích vào mỗi nút đầu ra (thực tế tôi muốn nghĩ về việc thay đổi cơ sở như một loại hoạt động tiện ích). Đặt là một kết hợp trình tạo với chữ ký chuẩn . Đây là một mảng gồm số. Chữ ký trong một cơ sở mới được đưa ra bởi $T^{\otimes k}$ $\Gamma$ $M_{i_1i_2\cdots i_k}=u(\Gamma)$ $2^k$

$(T^{\otimes k}M)_{i_1i_2\cdots i_k}:=\sum_{i_1',\cdots,i_k'} T_{i_1i_1'} \cdots T_{i_ki_k'} M_{i_1'i_2'\cdots i_k'}$

Trong đó là một số ma trận hai nhân hai mô tả cơ sở mới. $T$

Đặt là kết quả khớp được hình thành bằng cách thêm đỉnh mới vào , lấy chúng làm đầu ra mới và kết nối chúng với đầu ra cũ theo cạnh trọng số . Sau đó, chữ ký mới là trong đó là ma trận . Nếu bạn sau đó thực hiện sự thay đổi của cơ sở bạn sẽ có được chữ ký . $\Gamma'$ $k$ $\Gamma$ $x$ $C^{\otimes k}M$ $C_{ij}$ $\begin{pmatrix}0&x\\1&0\end{pmatrix}$ $TC^{-1}$ $T^{\otimes k}M$

— Colin McQuillan
nguồn

Xin lỗi vì trả lời muộn, tôi đã bị chiếm đóng ngày hôm nay. Tôi sợ, do sự hiểu biết hạn hẹp của tôi về tenor, tôi vẫn không thể hiểu bạn. Tôi đã từng nghĩ rằng chữ ký của một máy phát diêm trong cơ sở mới, được lấy từ chữ ký trong cơ sở cũ bởi giải pháp đến . Tôi nghĩ Valiant đã đề cập trong ví dụ rằng anh ta chỉ có ý định biểu thị vectơ perfMatch như tổng các hệ số đã viết cho cơ sở mới. Mặc dù vậy, tôi không thể chắc chắn, vì sự thiếu nền tảng rõ ràng của tôi với chất căng.

S

$S$

u (Γ)

$u(\Gamma)$

S = S_{0}

$S = S_0$

T^{\otimes k} \times S = u (Γ)

$T^{\otimes k} \times S = u(\Gamma)$

v a l G (Γ, x)

$valG(\Gamma, x)$

— Akash Kumar

[contd] Ngoài ra, tôi không thể theo gương của bạn với . Bạn có thể vui lòng giải thích thêm một chút? Cảm ơn - Akash

C^{\otimes k} M

$C^{\otimes k}M$

— Akash Kumar

Tôi rất vui khi cố gắng xây dựng, nhưng tôi có thể chỉ cần thêm các ký hiệu khó hiểu. Bạn có thể trả lời điều này trước: nếu bạn thêm các cạnh ở mỗi nút đầu ra, bạn nghĩ điều này có ảnh hưởng gì đến chữ ký? Ngoài ra, đó có thể được biểu thị dưới dạng - Tôi không thể nhớ được các hệ số thực tế của nên theo thuật ngữ của Valiant là .

S_{0}

$S_0$

(T^{- 1})^{\otimes k} S

$(T^{-1})^{\otimes k} S$

T

$T$

n_{0}, n_{1}, p_{0}, p_{1}

$n_0,n_1,p_0,p_1$

— Colin McQuillan

Tôi sẽ cố gắng nêu sự nhầm lẫn của tôi với một ví dụ. Hãy xem xét một trình tạo có đường dẫn có độ dài 3 trong đó cả 3 nút là các nút o / p. Chữ ký tiêu chuẩn của máy phát này là . Và chữ ký của tiện ích được sửa đổi với 3 nút mới, mỗi nút được kết nối với một nút o / p trong cơ sở tiêu chuẩn là . Bạn có thể vui lòng tiếp tục với ví dụ này? Tôi muốn xem hành động trên . Cảm ơn sự kiên nhẫn của bạn

(0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)

$(0,1,1,0,1,0,0,1)$

x (1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 0)

$x(1,1,1,1\ 1,1,1,0)$

C^{\otimes 3} w h e r e

$C^{\otimes 3} where$

C = (0, 1)^{t} (x = 1, 0)^{t}

$C = (0,\ 1)^t (x=1,\ 0)^t$

u (Γ)

$u(\Gamma)$

— Akash Kumar

Đặt là một đường có thứ tự 3. Gọi các đỉnh x, y, z trong đó y là đỉnh giữa. có iff Z phù hợp hoàn hảo là {x}, {z} hoặc {x, y, z}. Vậy . Với các cạnh được đính kèm chữ ký là . Hãy thử tính toán ví dụ bằng cách sử dụng công thức trên.

P_{3}

$P_3$

P_{3} ∖ Z

$P_3 \setminus Z$

u (P_{3}) = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)

$u(P_3)=(0,1,0,0,1,0,0,1)$

(1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)

$(1,0,0,1,0,0,1,0)$

(C^{\otimes 3} u (P_{3}))_{1, 2, 2} = 1

$(C^{\otimes 3} u(P_3))_{1,2,2}=1$

— Colin McQuillan