Có vấn đề NP-đầy đủ với các giải pháp thời gian dự kiến đa thức?

24

Có bất kỳ vấn đề NP-đầy đủ nào mà thuật toán được biết rằng thời gian chạy dự kiến là đa thức (đối với một số phân phối hợp lý qua các trường hợp) không?

Nếu không, có những vấn đề mà sự tồn tại của một thuật toán như vậy đã được thiết lập?

Hay sự tồn tại của một thuật toán như vậy ngụ ý sự tồn tại của thuật toán thời gian đa thức xác định?

cc.complexity-theory np-hardness

— Steve Kroon
nguồn

6

Tôi không hiểu câu hỏi là gì. Bạn đang hỏi về kết quả trường hợp trung bình cho các vấn đề NP-hard hoặc bạn đang hỏi liệu chúng ta có thể giải quyết các vấn đề NP-hard trong trường hợp xấu nhất trong thời gian đa thức dự kiến không?

— Moritz

2

"Thời gian chạy dự kiến" nghĩa là gì? Bạn có kỳ vọng vào một số phân phối ngẫu nhiên đầu vào (vì hầu hết các câu trả lời dường như nghĩ) hoặc qua phân phối các bit ngẫu nhiên được sử dụng bởi thuật toán (nghĩa thông thường của thuật toán ngẫu nhiên) hoặc cả hai?

— Jeffε

@Moritz: Tôi đang hỏi về kết quả trường hợp trung bình cho các vấn đề NP-hard. Giải quyết các vấn đề NP-hard trong trường hợp xấu nhất trong thời gian đa thức dự kiến có vẻ như là một kết quả thậm chí còn mạnh hơn đối với tôi, vì vậy tôi cũng quan tâm đến kết quả như vậy. @JeffE Tôi đang nói về thời gian dự kiến sẽ phân phối một số phân phối qua các trường hợp. Nếu thuật toán được chọn ngẫu nhiên, người ta cũng sẽ kỳ vọng vào các bit ngẫu nhiên. Nhưng câu hỏi của tôi không chủ yếu là về thuật toán ngẫu nhiên.

— Steve Kroon

3

Một kỹ thuật đệm đơn giản cung cấp cho bạn một cách để xây dựng những điều này từ bất kỳ vấn đề.

Giả sử là ngôn ngữ -Complete yêu cầu thời gian giải . Sau đó đặt là Sau đó, được giải như sau: thuật toán thời gian tuyến tính kiểm tra xem một chuỗi đầu vào có một số chẵn các ký tự trong đó đầu tiên là . Nếu không, nó từ chối; nếu không nó giải quyết . Nếu được rút ra một cách ngẫu nhiên, thời gian dự kiến để giải quyết là $L$ $NP$ $O(2^{n})$ $K$

K = = {1^{n} x | ‖ x ‖ = = n và x \in L}

$K=\{1^nx\ |\ \|x\|=n \text{ and }x\in L\}$

K

$K$

n

$n$

1^{n}

$1^n$

x \overset{?}{\in} L

$x\overset{?}{\in}L$

y \in_{R} {0, 1}^{2 n}

$y\in_R \{0,1\}^{2n}$

y \overset{?}{\in} K

$y\overset{?}{\in}K$

\frac{1}{2^{2 n}} (2^{n} \cdot 2^{n} + (2^{2 n} - 2^{n}) Ôi (n)) = = 1 + (1 - \frac{1}{2^{n}}) Ôi (n) \in Ôi (n) .

$\frac{1}{2^{2n}}\big(2^n\cdot 2^n+(2^{2n}-2^n)O(n)\big) = 1+(1-\frac{1}{2^n})O(n)\in O(n).$

$K$ là -Complete. Giảm từ là: $NP$ $L$

x \in {0, 1}^{n} \mapsto 1^{n} x

$x\in \{0,1\}^n \mapsto 1^nx$

— Liêuwe Vinkhuijzen
nguồn

13

Có một thuật toán thời gian đa thức để tìm các chu trình Hamilton trên các biểu đồ ngẫu nhiên, thành công không có triệu chứng với xác suất tương tự như một chu trình Hamilton tồn tại. Tất nhiên, vấn đề này là NP-hard trong trường hợp xấu nhất.

Họ cũng chỉ ra rằng một thuật toán lập trình động luôn được đảm bảo để tìm chu trình Hamilton, nếu nó tồn tại, có thời gian chạy dự kiến đa thức, nếu phân phối đầu vào là ngẫu nhiên thống nhất trên tập hợp tất cả đồ thị đỉnh. $n$

Tham khảo: "Thuật toán tìm chu kỳ Hamilton trong các biểu đồ ngẫu nhiên"

Bollobas, Fenner, Frieze

http://portal.acm.org/cites.cfm?id=22145.22193

— Aaron
nguồn

10

Về câu hỏi cuối cùng của bạn về việc liệu sự tồn tại của thuật toán trường hợp trung bình tốt có ngụ ý sự tồn tại của thuật toán trường hợp xấu nhất hay không: đây là một câu hỏi mở lớn được đặc biệt quan tâm đối với các nhà mật mã học. Mật mã học yêu cầu các vấn đề khó ở mức trung bình, nhưng các nhà mật mã học muốn dựa trên các giả định tối thiểu có thể, do đó, rất đáng quan tâm để tìm ra các vấn đề trong đó độ cứng của trường hợp trung bình có thể chứng minh bằng độ cứng của trường hợp xấu nhất.

Một số vấn đề mạng tinh thể được biết là có mức giảm trường hợp xấu nhất đến trường hợp trung bình. Xem, ví dụ, Tạo các trường hợp khó khăn về các vấn đề mạng của Ajtai và một bài viết khảo sát của Micciancio.

— Ian
nguồn

9

Về cơ bản, Max 2-CSP trên biến và ràng buộc được chọn ngẫu nhiên có thể được giải quyết trong thời gian tuyến tính dự kiến (xem tài liệu tham khảo dưới đây để biết công thức chính xác của kết quả). Lưu ý rằng Max 2-CSP vẫn là NP-hard khi số mệnh đề bằng số lượng biến vì nó là NP-hard nếu đồ thị ràng buộc của thể hiện có mức tối đa tối đa 3 và bạn có thể thêm một số biến giả để giảm trung bình độ đến 2. $n$ $n$

Tài liệu tham khảo:

Alexander D. Scott và Gregory B. Sorkin. Giải quyết các trường hợp ngẫu nhiên thưa thớt của Max Cut và Max 2-CSP trong thời gian dự kiến tuyến tính. Chải. Con mồi Tính toán, 15 (1-2): 281-315, 2006. Bản in

— Serge Gaspers
nguồn

2

Θ (n)

$\Theta(n)$

G (n, c / n)

$G(n,c/n)$

@Bart: Tôi có thể đã hiểu nhầm câu hỏi. Tôi cho rằng Max 2-CSP với số mệnh đề tuyến tính là NP-hard, nhưng tồn tại một thuật toán với thời gian tuyến tính dự kiến sẽ giải quyết vấn đề này trong các trường hợp ngẫu nhiên.

— Serge Gaspers

Về cơ bản, nếu tôi hiểu chính xác đối số của bạn, bạn đang nói rằng Max 2-CSP được trang bị phân phối G (n, c / n) trên các biểu đồ cơ bản có thể được giải quyết trong thời gian tuyến tính dự kiến. Tôi đồng ý với Bart rằng phân phối dường như không hoàn toàn "hợp lý" hoặc "tự nhiên" đối với tôi, nhưng tôi nghĩ rằng nó trả lời đầy đủ câu hỏi của tôi.

— Steve Kroon

@Steve: Tôi đồng ý.

— Serge Gaspers

7

Điều này không trả lời hoàn toàn câu hỏi của bạn, nhưng để khảo sát kết quả về các trường hợp ngẫu nhiên của 3-SAT, bạn có thể thấy điều này: www.math.cmu.edu/~adf/research/rand-sat-algs.pdf

Thông thường rất khó để định nghĩa "phân phối hợp lý" thực sự có nghĩa là gì. Bạn có thể theo liên kết này để đọc thêm về điều này trong khảo sát "Độ phức tạp thời gian trung bình" của Bogdanov và Trevisan: http://arxiv.org/abs/cs/0606037 .

— Grigory Yaroslavtsev
nguồn

Cảm ơn các liên kết. Thật không may, kết quả "có xác suất cao" của bài báo 3-SAT không đủ mạnh (theo như tôi có thể thấy) để khẳng định truy vấn của tôi. Tôi đồng ý "phân phối hợp lý" có thể có lông. Trong trường hợp này, tôi thích nó hơn nếu phân phối rõ ràng không được chọn sao cho "không gian cá thể hiệu quả" không đơn giản làm giảm vấn đề thành một vấn đề được biết đến ở P.

— Steve Kroon

5

"Tô màu đồ thị ngẫu nhiên trong thời gian đa thức dự kiến" của Amin Coja-Oghlan và Anusch Taraz

$G \in G(n, p)$ $p < 1.01/n$ $O(√np)$

http://www.springerlink.com/content/87c17d4dacbrc0ma/

— Joel Rybicki
nguồn

Có vấn đề NP-đầy đủ với các giải pháp thời gian dự kiến ​​đa thức?

Có vấn đề NP-đầy đủ với các giải pháp thời gian dự kiến đa thức?