Có tồn tại CFG kích thước đa thức mô tả ngôn ngữ hữu hạn này?

Có tồn tại hoán vị và kích thước đa thức (trong ) ngữ pháp tự do ngữ cảnh mô tả ngôn ngữ hữu hạn trên bảng chữ cái ?| w | = n { w π 1 ( w ) π 2 ( w ) } { 0 , 1 $\pi_1,\pi_2$$|w|=n$$\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$$\{0,1\}$

CẬP NHẬT: Đối với một hoán vị là có thể. là sự điều chỉnh đảo ngược hoặc tương đối nhỏ của sự đảo ngược.$\pi$$\pi$

Chomsky dạng bình thường

Một CFG ở dạng CNF (dạng bình thường Chomsky) nếu các sản phẩm duy nhất có dạng và ; một ngữ pháp có thể được đưa đến CNF chỉ với cú đánh bậc hai.A → B $A \rightarrow a$$A \rightarrow BC$

Đối với một ngữ pháp trong CNF, chúng tôi có đẹp Subword Bổ đề: Nếu tạo ra một từ , sau đó cho mỗi , có một subword của có độ dài được tạo ra bởi một số không bị đầu cuối của . Bằng chứng: Hạ xuống cây cú pháp (nhị phân), luôn luôn đi đến phần con tạo ra từ khóa dài hơn. Nếu bạn đã bắt đầu với một từ phụ có kích thước tối thiểu , bạn không thể đi dưới .G w ℓ ≤ w x w ℓ / 2 ≤ | x | < ℓ G ℓ ℓ /$G$$G$$w$$\ell \leq w$$x$$w$$\ell/2 \leq |x| < \ell$$G$$\ell$$\ell/2$

Giải pháp

Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng một ngữ pháp cho (một ngôn ngữ như vậy với ) cụ thể ở dạng Chomsky Bình thường. Ngôn ngữ bao gồm các từ cho tất cả .$L_n$$\pi_1,\pi_2 \in S_n$$L_n$$w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$$x \in \{0,1\}^n$

Sử dụng Bổ đề Subword, với mỗi chúng ta có thể tìm thấy một chuỗi con có độ dài được tạo bởi một số ký hiệu và xảy ra tại vị trí .$w(x)$$s(x)$

Giả sử và . Vì , nên từ phụ không thể cắt cả phần và phần của ; chúng ta có thể giả sử nó tách rời khỏi phần . Do đó có dạng . Điều này ngụ ý rằng tạo ra chính xác một chuỗi, cụ thể là . Do đó .$p(x) = p(y)$$A(x) = A(y)$$|s(x)|<n$$s(x)$$x$$\pi_2(x)$$w(x)$$x$$w(x)$$x \alpha s(x) \beta$$A(x)$$s(x)$$s(x) = s(y)$

Bây giờ cắt nhau hoặc ở ít nhất vị trí và do đó xác định ít nhất bit của . Do đó, nhiều nhất chuỗi có thể có và . Vì có nhiều nhất khả năng cho , chúng tôi nhận thấy rằng có ít nhất các thiết bị đầu cuối khác nhau trong ngữ pháp.$s(y)$$\pi_1(y)$$\pi_2(y)$$n/4$$n/4$$y$$2^{3n/4}$$y \in \{0,1\}^n$$p(x) = p(y)$$A(x) = A(y)$$3n$$p(y)$

Nhận xét: Bằng chứng tương tự hoạt động nếu , nghĩa là các hoán vị tùy ý trên tập hợp tất cả các từ -bit. Cho bit của , có chính xác tiền tố . n n / 4 π i ( y ) 2 3 n / 4$\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$$n$$n/4$$\pi_i(y)$$2^{3n/4}$$y$

Thêm ví dụ

Sử dụng cùng một phương pháp, người ta có thể chứng minh rằng ngôn ngữ mà mỗi ký tự xuất hiện chính xác hai lần yêu cầu CFG kích thước theo cấp số nhân theo kích thước của bảng chữ cái. Chúng ta có thể thay thế "hai lần" bằng bất kỳ tập hợp con nào của ngoài bốn tập hợp nhỏ (bỏ qua , không chứa hoặc tất cả trong số đó). 0 N ≥ $\mathbb{N}$$0$$\mathbb{N}_{\geq 1}$

Tôi sẽ đánh giá cao một tài liệu tham khảo cho phương pháp bằng chứng này.