Giới hạn dưới của hàm Ngưỡng

Trong độ phức tạp của cây quyết định của hàm boolean, một phương thức ràng buộc thấp hơn rất rõ là tìm một đa thức (gần đúng) đại diện cho hàm. Paturi đã đưa ra một đặc tính cho các hàm boolean đối xứng (một phần và toàn bộ) theo số lượng được ký hiệu :$\Gamma$

Định lý ( Paturi ): Gọi là bất kỳ hàm đối xứng không cố định nào và biểu thị khi (tức là trọng số của là ). Mức độ gần đúng của , ký hiệu là , là , trong đó$f$$f_k=f(x)$$|x|=k$$x$$k$$f$$\widetilde{deg}(f)$$\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})$$\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\}$

Bây giờ hãy để $Thr_t(x)$ là hàm ngưỡng, tức là $Thr_t(x)=1$ nếu $x\geq t$ . Trong bài viết này (xem phần 8, trang 15) nói rằng $\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)}$ .

Quan sát rằng đối với hàm ngưỡng, chúng ta có $\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$, bởi vì khi $|x|=t-1$ hàm thay đổi từ 0 thành 1. Tôi có đúng không?

Nếu tôi áp dụng trực tiếp định lý của Paturi vào giá trị này của $\Gamma$ , tôi sẽ không bị giới hạn dưới của hàm ngưỡng được báo cáo trong các bài báo khác. Giá trị của $\Gamma(Thr_t)$ ở trên có đúng không? Tôi đang thiếu gì?

Chỉnh sửa: Tôi cũng đã thử tính toán đối thủ lượng tử giới hạn dưới cho ngưỡng. Đầu tiên, hãy xem lại định lý.

Định lý (Đối thủ lượng tử không trọng số): Đặt là hàm boolean một phần và đặt và là tập con của đầu vào (cứng). Đặt là một mối quan hệ và đặt cho mỗi . Gọi lần lượt là số lượng tối thiểu 1s trong bất kỳ hàng nào và bất kỳ cột nào trong mối quan hệ và để biểu thị số lượng tối đa của các hàng trong bất kỳ hàng và cột nào trong bất kỳ mối quan hệ . Sau đó, .$f$$A\subseteq f^{-1}(0)$$B\subseteq f^{-1}(1)$$R\subseteq A\times B$$R_i=\{(x,y)\in R : x_i\neq y_i\}$$1\leq i \leq n$$m,m'$$R$$\ell,\ell'$$R_i$$Q_2(f)=\Omega(\sqrt{\frac{m m'}{\ell \ell'}})$

Nếu tôi định nghĩa là tập hợp tất cả các đầu vào có số lượng 1 lớn hơn hoặc bằng và tất cả các đầu vào có 1s nhỏ hơn , tôi nhận được (sau một số đại số) mà .$B$$t$$A$$t$$\frac{mm'}{\ell\ell'}=n^2 \ln(\frac{n}{t}) \ln(\frac{n}{n-t})$

Vì vậy, tôi vẫn không nhận được các giới hạn thấp hơn được báo cáo trong các bài báo khác. Bây giờ, hãy so sánh các giới hạn. Hình dưới đây cho thấy và không có căn bậc hai, so sánh giữa định lý Paturi bị ràng buộc (màu xanh), ràng buộc đối thủ (màu đỏ) và báo cáo ràng buộc từ các giấy tờ khác (màu xanh lá cây).$n=200$

Câu hỏi của tôi là:

1- Làm thế nào để tôi nhận được báo cáo ràng buộc trong các giấy tờ khác?

2- Bạn có thể thấy trong hình, giới hạn dưới (màu xanh lá cây) được báo cáo cũng giới hạn dưới của Paturi và giới hạn đối thủ. Không phải là làm suy yếu giới hạn dưới "thực sự" sao? Ví dụ: nếu Paturi nói rằng đối với tất cả các hàm đối xứng, chúng ta có giới hạn này, thì làm thế nào bạn có thể có giới hạn trên phù hợp để đếm lượng tử ( )? Đó không phải là giới hạn trên vi phạm định lý của Paturi sao?$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

Tôi không biết làm thế nào bạn có thể nhận hoặc nhìn thấy giới hạn của từ ràng buộc ban đầu nhưng đây là bằng chứng cho thấy giới hạn này không có triệu chứng tương đương với một yếu tố không đổi:$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$$\sqrt{n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert )}$

Trước tiên hãy xem (tôi loại trừ vì hàm ngưỡng luôn là ) $t = 0$$1$

Xác định , và .$f_1(t) = n(2t-1)$$f_2(t) = n(2n-2t+1)$$g(t) = (t+1)(n-t+1)$

Bây giờ bạn phải tính giá trị tối đa (theo trong các khoảng được xác định) của các phân số , , và . Bạn có thể làm điều này với phép tính vi phân hoặc xấp xỉ với sự trợ giúp của biểu đồ (với đủ lớn):$t$$f_1(t)/g(t)$$f_2(t)/g(t)$$g(t)/f_1(t)$$g(t)/f_2(t)$$n$

$f_1(t)/g(t) \leq f_1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$f_2(t)/g(t) \leq f_2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$g(t)/f_1(t) \leq g(1)/f_1(1) = \dfrac{2n}{n} = 2$

$g(t)/f_2(t) \leq g(n-1)/f_2(n-1) = \dfrac{n/2}{n/3} \leq 3/2$

Điều này mang lại cho bạn và cũng là kết quả mong muốn

Có cách nào dễ dàng hơn để xem / nhận kết quả này không?