Độ phức tạp của sự thẩm thấu

Trong ngữ cảnh của sự thẩm thấu trái phiếu trên trong đó là một số nguyên dương, hãy xem xét vấn đề tính toán -appro xấp xỉ của percolation quan trọng đưa ra kích thước mạng và một tham số chính xác làm đầu vào. Có bất kỳ kết quả được biết về sự phức tạp của vấn đề như vậy? $\mathbb{Z}^d$ $d$ $2^{-k}$ $p_c$ $d\in\mathbb{N}$ $k\in\mathbb{N}$

cc.complexity-theory randomness percolation

— Al-Alimi
nguồn

Có bất kỳ lý do nào để nghĩ rằng có thể tính toán được ngay cả đối với không?

p_{c}

$p_c$

Z^{3}

$\mathbb{Z}^3$

— Colin McQuillan

@Colin Tính toán không khó để thiết lập.

— Al-Alimi

Vấn đề chắc chắn là trong thời gian theo cấp số nhân ngẫu nhiên, và có khả năng trong không gian theo cấp số nhân. Kết quả đầu tiên là trong bài viết gốc của tôi dưới đây và lần thứ hai trong bản cập nhật của tôi.

BÀI VIẾT GỐC: Bạn không thể có được một xấp xỉ tốt bằng mô phỏng, nếu bạn sẵn sàng dành thời gian theo cấp số nhân theo và ? Độ dài đầu vào là logarit tính bằng và . Vì vậy, rõ ràng vấn đề là trong thời gian theo cấp số nhân ngẫu nhiên. Vì không ai biết cách tính toán các giá trị này một cách hiệu quả trong thực tế, nên có vẻ như điều này không được biết là trong thời gian theo cấp số nhân ngẫu nhiên. Tôi sẽ rất ngạc nhiên nếu có bất kỳ kết quả phức tạp nào khác được biết về vấn đề này. $k$ $d$ $k$ $d$

CẬP NHẬT THÊM: Trên thực tế, tôi nghĩ rằng vấn đề rất có thể xảy ra trong EXPSPACE. Chúng ta hãy sửa kích thước (để làm cho mọi thứ dễ dàng hơn và vì tôi không hiểu sự tinh tế của sự sai lệch ở các chiều khác nhau), vì vậy đầu vào chỉ là . Ngoài ra, giả sử được đưa ra một cách đơn nhất để tôi có thể bỏ số mũ và nói về PSPACE. Tôi đề xuất các thuật toán sau. $k$ $k$

Trước tiên, chúng ta phải đưa ra giả định rằng có một lớp các hàm giả ngẫu nhiên cho bạn biết liệu có liên kết tại tọa độ , trong đó là hạt giống cho hàm giả ngẫu nhiên và các liên kết do đưa ra hoạt động giống như các liên kết ngẫu nhiên liên quan đến sự thẩm thấu. $F_\alpha({\mathbf{x}})$ $\mathbf{x}$ $\alpha$ $F$

Bây giờ, giả sử rằng chúng ta có một giá trị cố định của hạt giống hàm giả ngẫu nhiên . Hãy xem xét các trò chơi hai người chơi sau đây, mà hai người chơi A và B chơi, sau khi được đưa ra một xác suất trái phiếu và hạt cho . $\alpha$ $p$ $\alpha$ $F$

Người chơi 1 cung cấp hai trang web và trong khoảng cách của nguồn gốc, nhưng vẫn cách nhau , trong đó được chọn sao cho nếu xác suất percolation nằm trong của xác suất percolation quan trọng , thì với xác suất cao sẽ có một cụm đường kính gần gốc ( được gọi một số mũ quan trọng, và tôi tin rằng giá trị của nó được biết đến với bằng chứng toán học). Người chơi 1 tuyên bố rằng có một đường dẫn dài kết nối các trang web này với các liên kết trong ${\bf a}$ ${\bf b}$ $2^{k\nu}$ $\theta(2^{k \nu})$ $\nu$ $p$ $2^{-k}$ $p_c$ $2^{k\nu}$ $\nu$ $d$ $F_\alpha$ và cũng cung cấp cho trang web là trung điểm của đường dẫn có độ dài này . Người chơi 2 sau đó tuyên bố rằng phần đầu tiên hoặc phần thứ hai của đường dẫn này không được kết nối. Người chơi 1 trả lời bằng cách đưa ra điểm mà anh ta tuyên bố là điểm giữa của phần được cho là bị ngắt kết nối của đường dẫn này. Hai người chơi tiếp tục theo cách này cho các bước , cho đến khi họ đạt đến một đoạn đường bao gồm một liên kết duy nhất, có sự hiện diện hoặc vắng mặt dễ dàng được xác minh. $d$ $\log d$

Đây là một trò chơi hai người chơi có kết quả cho biết xác suất quan trọng có nằm trong của , và kết quả là thời gian đa thức xen kẽ là trong PSPACE, kết quả của trò chơi này có thể được tính trong PSPACE. Sau đó, một máy PSPACE có thể tính kết quả này cho tất cả các hạt để tìm ra người chơi nào thắng với xác suất cao: điều này sẽ cho anh ta biết lớn hơn hay nhỏ hơn hoặc xấp xỉ bằng . Sau đó, nó có thể thực hiện tìm kiếm nhị phân trên để tìm . $2^{-k}$ $p_c$ $\alpha$ $p$ $p_c-2^{-k}$ $p$ $p_c$

THỬ THÁCH: Tìm một thuật toán PSPACE (hoặc EXPSPACE nếu không được đưa ra trong thuật toán unary) mà không sử dụng giả định rằng có các hàm giả ngẫu nhiên tốt cho sự thẩm thấu. $k$

— Peter Shor
nguồn

Có lẽ tôi đang hiểu nhầm những gì đang được hỏi, nhưng không phải là số tiền này để xác định liệu có tồn tại một đường đi giữa bất kỳ cặp đỉnh nào trong đó một cặp được chọn từ mỗi hai bộ (nói hai cạnh đối diện của một hypercube cho một khối lập phương đủ lớn) cho khác nhau ? Trong trường hợp này, việc liệt kê các sơ đồ con được kết nối bị ngắt kết nối sẽ đưa ra câu trả lời trong đa thức thời gian trong . Bạn cũng có khả năng có thể lấy tỷ lệ đa thức trong bằng cách sử dụng tìm kiếm nhị phân.

k

$k$

d

$d$

k

$k$

— Joe Fitzsimons

Chúng ta hãy lo lắng về việc mô phỏng chỉ trong các kích thước cố định (Tôi không biết đủ về hành vi của sự sai lệch nếu kích thước là một tham số khác nhau). Bạn muốn ước tính xác suất quan trọng cho sự thẩm thấu trong vòng . Bây giờ, có một số mũ quan trọng nói rằng nếu xác suất percolation ít nhất là , thì kích thước của cụm lớn nhất là . Vì vậy, để ước tính xác suất tới hạn trong vòng , bạn cần xem xét một vùng có thể tích giống như .

c_{p}

$c_p$

2^{- k}

$2^{-k}$

σ

$\sigma$

c_{p} - ϵ

$c_p-\epsilon$

ϵ^{- σ}

$\epsilon^{-\sigma}$

2^{- k}

$2^{-k}$

2^{k σ}

$2^{k\sigma}$

— Peter Shor

(Bình luận tiếp tục.) Tôi nghĩ rằng bạn có thể đúng ở chỗ thuật toán có thể không cần phải theo cấp số nhân trong . Để tôi nghi vê no.

d

$d$

— Peter Shor

@Joe: các kết quả mà tôi có thể dễ dàng tìm thấy trên sự thẩm thấu chiều cao có thể có các hằng số ẩn phụ thuộc vào kích thước trong ký hiệu tiệm cận. Vì vậy, tôi thực sự không thể nói sự phụ thuộc vào kích thước là gì. Tôi nghĩ rằng thuật toán EXPSPACE mà tôi đưa ra ở trên có khả năng là đa thức về chiều, nhưng tôi sẽ cần thực hiện nhiều tìm kiếm tài liệu hơn là tôi muốn quyết định liệu có những định lý thống nhất về chiều để chứng minh cho tuyên bố này hay không.

— Peter Shor