Ước tính kích thước VC

Những gì được biết về vấn đề sau đây?

Với một bộ sưu tập chức năng f : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } , hãy tìm một subcollection lớn nhất S ⊆ C chịu sự ràng buộc VC-Dimension ( S ) ≤ k đối với một số nguyên k .$C$$f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$S \subseteq C$$(S) \leq k$$k$

Có các thuật toán gần đúng hoặc kết quả độ cứng cho vấn đề này?

Chỉnh sửa : vấn đề ban đầu là -Hard để xấp xỉ khi k = 1 nơi n biểu thị số lượng các bộ.$n^{1-\epsilon}$$k=1$$n$

Các kép của một hypergraph thu được bằng cách trao đổi các đỉnh với các cạnh, và giữ gìn tỷ lệ mắc. Nó là dễ dàng hơn để hiểu được vấn đề khi chúng ta lưu ý rằng một hypergraph có VC-chiều 1 iff kép của nó là cross-miễn phí (cho tất cả trong Một , tại một trong ít nhất của P ∩ Q , P ∖ Q , Q ∖ P , ( P ∪ Q ) c là trống).$P, Q$$A$$P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

Bằng cách tính hai mặt của vấn đề gốc (đối với ) tương đương với, cho một hypergraph ( V , S ) , hãy tìm một max-kích thước U ⊆ V với ( U , { S ∩ U | S ∈ S } ) cross-miễn phí.$k=1$$(V, \mathcal{S})$$U \subseteq V$$(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

Trên thực tế, vấn đề (kép) này rất khó ngay cả khi tất cả các tập hợp trong có kích thước 2: đó là biểu đồ và chúng tôi đang tìm kích thước đỉnh có kích thước tối đa mà biểu đồ con cảm ứng không chứa bất kỳ đường dẫn hai cạnh nào ( không khó để thấy đây là cách duy nhất một cặp giao nhau có thể phát sinh, giả sử đồ thị có ít nhất 4 đỉnh). Nhưng đặc tính này là di truyền và không cần thiết và do đó chúng ta có thể sử dụng kết quả của Feige và Kogan để thể hiện độ cứng.$\mathcal{S}$

Trả lời gốc

Vấn đề kép cho (tìm tối đa kích thước S như vậy mà đôi VC-kích thước của S là nhiều nhất là 1) khó có thể xấp xỉ trong n 1 - ε (trong một gia đình với Θ ( n ) bộ).$k=1$$S$$S$$n^{1-\epsilon}$$\Theta(n)$

Lý do cho điều này là các kép VC-kích thước của một gia đình là 1 iff sau giữ: cho tất cả P , Q trong Một , tại một trong ít nhất của P ∩ Q , P ∖ Q , Q ∖ P , ( P ∪ Q ) c trống (Tức là VC-dim = 1 là kép của cái thường được gọi là cross-freeness.)$A$$P, Q$$A$$P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

Chúng tôi giảm từ thiết lập độc lập để tính toán phân họ không có kích thước chéo tối đa. Cho một đồ thị xây dựng một hypergraph H = ( X , S ) nơi X = V ⊎ E ⊎ { 0 } đối với một số yếu tố giả 0 . Đối với mỗi đỉnh v của G , chúng tôi thêm những điều sau bộ T v để S : { v } ∪ { e | $G=(V, E)$$H=(X, S)$$X = V \uplus E \uplus \{0\}$$0$$v$$G$$T_v$$S$

$\{T_v\}_{v \in U}$$U$$G$

Nhưng đối với vấn đề ban đầu (nguyên thủy), có vẻ như cần thêm một số suy nghĩ ... có vẻ thú vị!

Một số công việc liên quan có liên quan: Ước tính chính kích thước VC (chứ đừng nói đến việc tìm một tập hợp con lớn với kích thước VC bị ràng buộc) trong đại diện của bạn là hoàn thành LOGNP (LOGNP là NP bị hạn chế ghi nhật ký n bit của thuyết không xác định). Ngoài ra còn có một số công việc liên quan để ước tính và xấp xỉ kích thước VC khi trình bày không gian phạm vi nhỏ gọn hơn (xem thêm các tham chiếu bên trong)