Các vấn đề trong NP nhưng không phải ở mức trung bình-P / poly

Theo Karp, Lipton Theoem nói rằng nếu , thì sụp đổ thành . Do đó, giả sử khoảng cách giữa và , không có vấn đề nào về sẽ thuộc về .$\mathsf{NP} \subset \mathsf{P/poly}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{\Sigma^P_2}$$\mathsf{\Sigma^P_2}$$\mathsf{\Sigma^P_3}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P/poly}$

Tôi quan tâm đến câu hỏi sau đây:

Giả sử rằng không sụp đổ hoặc giả sử bất kỳ giả định hợp lý nào khác về độ phức tạp của cấu trúc, những vấn đề khó khăn về trung bình được chứng minh là không nằm trong (nếu có)?$\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Có thể tìm thấy định nghĩa của trong Mối quan hệ giữa Độ phức tạp của trường hợp trung bình và trường hợp xấu nhất . Cảm ơn Tsuyoshi đã chỉ ra rằng tôi thực sự cần sử dụng thay vì .$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$$\mathsf{P/poly}$

Tôi nghĩ rằng có những vấn đề như (phiên bản quyết định của) FACTORING hoặc DLOG được phỏng đoán là nằm trong , nhưng phỏng đoán không được chứng minh dựa trên sự tách biệt giữa các lớp phức tạp. (Hãy sửa lại cho tôi nếu tôi sai.)$\mathsf{NP} - \mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Đây là một phiên bản cải tiến một chút của hai nhận xét của tôi về câu hỏi kết hợp.

Chúng ta hãy hạn chế sự chú ý của chúng ta đối với các vấn đề phân phối trong DistNP (còn gọi là (NP, P-computable)) để đơn giản. Sau đó, bạn đang tìm kiếm một vấn đề trong DistNP ∖ Average-P / poly. Về mặt tự nhiên, một vấn đề như vậy tồn tại khi và chỉ khi DistNP ⊈ Average-P / poly. Và nếu DistNP ⊈ Average-P / poly, thì mọi vấn đề hoàn thành của DistNP nằm ngoài Average-P / poly vì Average-P / poly được đóng dưới mức giảm trường hợp trung bình.

(Xem xét một SampNP lớp lớn hơn (còn gọi là (NP, P-samplable) ) thay vì DistNP không thay đổi tình hình nhiều vì DistNP ⊆ Average-P / poly khi và chỉ khi SampNP ⊆ Average-P / poly. hệ quả của Impagliazzo và Levin [IL90] là mọi vấn đề phân phối trong SampNP đều có thể giảm trung bình đối với một số vấn đề phân phối trong DistNP.)

Tôi không biết giả định tự nhiên nào ngụ ý DistNP ⊈ Average-P / poly. Giả định rằng hệ thống phân cấp đa thức không sụp đổ không được biết có nghĩa là thậm chí còn gây ra hậu quả yếu hơn là DistNP ⊈ Average-P, theo Mục 18.4 của Arora và Barak [AB09]: mặc dù chúng ta biết rằng nếu P = NP , sau đó hệ thống phân cấp đa thức PH sụp đổ thành P [MR], chúng tôi không có kết quả tương tự cho độ phức tạp trường hợp trung bình.

Tài liệu tham khảo

[AB09] Sanjeev Arora và Boaz Barak. Độ phức tạp tính toán: Cách tiếp cận hiện đại , Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2009.

[IL90] Russell Impagliazzo và Leonid A. Levin. Không có cách nào tốt hơn để tạo các thể hiện NP cứng hơn là chọn ngẫu nhiên một cách ngẫu nhiên. Trong Hội nghị chuyên đề thường niên lần thứ 31 về nền tảng của khoa học máy tính , 812 Từ821, tháng 10 năm 1990. http://dx.doi.org/10.1109/FSCS.1990.89604