Định lý phân cấp cho kích thước mạch

Tôi nghĩ rằng một định lý phân cấp kích thước cho độ phức tạp của mạch có thể là một bước đột phá lớn trong khu vực.

Đó có phải là một cách tiếp cận thú vị để tách lớp?

Động lực cho câu hỏi là chúng ta phải nói

có một số chức năng không thể được tính bằng các mạch kích thước và có thể được tính bằng một mạch kích thước trong đó . (và có thể một cái gì đó liên quan đến độ sâu)g ( n ) f ( n ) < o ( g ( n ) $f(n)$$g(n)$$f(n)<o(g(n))$

vì vậy, nếu , thuộc tính dường như không tự nhiên (nó vi phạm điều kiện lớn). Rõ ràng chúng ta không thể sử dụng đường chéo, bởi vì chúng ta không ở trong một thiết lập thống nhất.$f(m)g(n) \leq n^{O(1)}$

Có một kết quả theo hướng này?

Trong thực tế, có thể chỉ ra rằng, với mỗi đủ nhỏ (nhỏ hơn ), có các hàm được tính toán bằng các mạch có kích thước nhưng không phải bởi các mạch có kích thước , hoặc thậm chí , tùy thuộc vào loại cổng mà bạn cho phép.2 n / n f ( n ) f ( n ) - O ( 1 ) f ( n ) - $f$$2^n/n$$f(n)$$f(n)-O(1)$$f(n)-1$

Dưới đây là một đối số đơn giản cho thấy rằng có các hàm tính toán theo kích thước nhưng không phải là kích thước .f ( n ) - O ( n $f(n)$$f(n)-O(n)$

Chúng ta biết rằng:

1. có một hàm yêu cầu độ phức tạp của mạch ít nhất là và đặc biệt là độ phức tạp của mạch nhiều hơn .2 n / O ( n ) f ( n $g$$2^n/O(n)$$f(n)$
2. hàm sao cho z ( x ) = 0 cho mọi đầu vào x được tính toán bằng một mạch có kích thước không đổi.$z$$z(x)=0$$x$
3. nếu hai hàm và g 2 chỉ khác nhau ở một đầu vào, thì độ phức tạp mạch của chúng khác nhau nhiều nhất là O ( n $g_1$$g_2$$O(n)$

Giả sử là khác không trên N đầu vào. Gọi đầu vào như x 1 , ... , x N . Chúng ta có thể xem xét, với mỗi i , hàm g i ( x ) là hàm chỉ thị của tập { x 1 , Vượt , x i } ; do đó g 0 = 0 và g N = g .$g$$N$$x_1,\ldots,x_N$$i$$g_i(x)$$\{ x_1,\ldots,x_i \}$$g_0=0$$g_N=g$

Rõ ràng có một số sao cho g i + 1 có độ phức tạp mạch lớn hơn f ( n ) và g i có độ phức tạp mạch nhỏ hơn f ( n ) . Nhưng sau đó g i có độ phức tạp mạch nhỏ hơn f ( n ) nhưng nhiều hơn f ( n ) - O ( n ) .$i$$g_{i+1}$$f(n)$$g_i$$f(n)$$g_{i}$$f(n)$$f(n) - O(n)$

Kết quả này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng một đối số đếm đơn giản. Hãy xem xét một hàm ngẫu nhiên được áp dụng cho bit đầu tiên của đầu vào. Hàm này gần như chắc chắn có độ phức tạp mạch ( 1 + o ( 1 ) ) ( 2 k / k ) bởi đối số đếm của Riordan và Shannon, và khớp với giới hạn trên. Do đó, chọn k sao cho 2 g ( n ) < 2 k / k < f ( n ) / 2 chúng ta có thể phân biệt kích thước $k$$(1+o(1))(2^k/k)$$k$$2g(n) < 2^k/k < f(n)/2$$g(n)$$f(n)$$k$$2^n/n$

$NE$