Ngôn ngữ lập trình để tính toán hiệu quả

Không thể viết một ngôn ngữ lập trình cho phép tất cả các máy dừng trên tất cả các đầu vào và không có ngôn ngữ nào khác. Tuy nhiên, dường như rất dễ để định nghĩa một ngôn ngữ lập trình như vậy cho bất kỳ lớp phức tạp tiêu chuẩn nào. Cụ thể, chúng ta có thể định nghĩa một ngôn ngữ trong đó chúng ta có thể diễn đạt tất cả các tính toán hiệu quả và chỉ tính toán hiệu quả.

Chẳng hạn, đối với một cái gì đó như : lấy ngôn ngữ lập trình yêu thích của bạn và sau khi bạn viết chương trình của mình (tương ứng với Turing Machine ), hãy thêm ba giá trị vào tiêu đề: một số nguyên và số nguyên và đầu ra mặc định . Khi chương trình được biên dịch, hãy xuất một máy Turing có đầu vào có kích thước chạy trên cho các bước . Nếu không dừng lại trước khi các bước kết thúc, hãy xuất đầu ra mặc địnhM ′ c k d M x n M ′ x c n k M ′ c n k d $P$$M'$$c$$k$$d$$M$$x$$n$$M'$$x$$c n^k$$M'$$c n^k$$d$. Trừ khi tôi nhầm, ngôn ngữ lập trình này sẽ cho phép chúng tôi thể hiện tất cả các tính toán trong và không có gì nữa. Tuy nhiên, ngôn ngữ đề xuất này vốn không thú vị.$P$

Câu hỏi của tôi: có ngôn ngữ lập trình nào nắm bắt các tập hợp con của các hàm tính toán (như tất cả các hàm tính toán hiệu quả) theo cách không tầm thường không? Nếu không có, có lý do cho việc này?

Một ngôn ngữ cố gắng chỉ diễn tả các phép tính thời gian đa thức là phép tính lambda mềm . Hệ thống kiểu của nó bắt nguồn từ logic tuyến tính. Một luận án gần đây đề cập đến phép tính thời gian đa thức, và cung cấp một bản tóm tắt tốt về những phát triển gần đây dựa trên phương pháp này. Martin Hofmann đã làm việc về chủ đề này khá lâu. Một danh sách cũ hơn của các giấy tờ có liên quan có thể được tìm thấy ở đây ; Nhiều bài báo của ông tiếp tục theo hướng này.

Các công việc khác sử dụng cách tiếp cận để xác minh rằng chương trình sử dụng một lượng tài nguyên nhất định, sử dụng Loại phụ thuộc hoặc Ngôn ngữ hội nhập .

Tuy nhiên, các cách tiếp cận khác dựa trên các phép tính chính thức giới hạn tài nguyên , chẳng hạn như các biến thể của phép tính môi trường xung quanh.

Các phương pháp này có đặc tính là các chương trình được gõ tốt đáp ứng một số giới hạn tài nguyên được chỉ định trước. Tài nguyên bị ràng buộc có thể là thời gian hoặc không gian và thường có thể phụ thuộc vào kích thước của đầu vào.

Công việc ban đầu trong lĩnh vực này là về tính toán bình thường hóa mạnh mẽ, có nghĩa là tất cả các chương trình được đánh máy tốt đều dừng lại. Hệ thống F , hay còn gọi là phép tính lambda đa hình, đang chuẩn hóa mạnh mẽ. Nó không có toán tử điểm cố định, nhưng dù sao cũng khá biểu cảm, mặc dù tôi không nghĩ nó được biết lớp phức tạp tương ứng với nó. Theo định nghĩa, bất kỳ phép tính chuẩn hóa mạnh nào cũng biểu thị một số lớp tính toán kết thúc.

Ngôn ngữ lập trình Charity là một ngôn ngữ chức năng khá biểu cảm dừng lại trên tất cả các đầu vào. Tôi không biết lớp phức tạp nào nó có thể biểu hiện, nhưng hàm Ackermann có thể được viết bằng Charity.

Hãy xem bài báo của Guillaume Bonfante, người đã đề xuất hai đặc tính cho Logspace và thời gian đa thức bằng các ngôn ngữ lập trình.

Guillaume Bonfante, Một số ngôn ngữ lập trình cho Logspace và Ptime, AMAST 2006, LNCS 4019, trang 66-80, 2006

Tôi cũng muốn đề cập đến Lý thuyết phức tạp tiềm ẩn như một cách tiếp cận vấn đề này, vì tôi đã thấy nó xuất hiện trong một số câu hỏi hơi liên quan. Để trích dẫn câu trả lời này của Neel Krishnaswami :

Kỹ thuật cơ bản là liên kết các lớp phức tạp với các hệ thống con của logic tuyến tính (cái gọi là "logic tuyến tính nhẹ"), với ý tưởng rằng việc loại bỏ cắt cho hệ thống logic phải được hoàn thành cho lớp phức tạp nhất định (như LOGSPACE, PTIME, v.v.). Sau đó, thông qua Curry-Howard, bạn có được một ngôn ngữ lập trình trong đó chính xác các chương trình trong lớp đã cho là có thể biểu thị được.

Tôi ngạc nhiên không ai đề cập đến đệ quy nguyên thủy. Bằng cách giới hạn các vòng lặp giới hạn (nghĩa là số lần lặp cho mỗi vòng lặp phải được tính trước khi vòng lặp bắt đầu), chương trình kết quả là đệ quy nguyên thủy và do đó tổng cộng. Douglas Hofstadter đã đề xuất một ngôn ngữ lập trình, BLOOP, cho phép tất cả và chỉ các hàm đệ quy nguyên thủy.

Xem thêm Pola một ngôn ngữ để lập trình PTIME và các tác phẩm của Japaridze về số học PTIME, ví dụ: http://arxiv.org/abs/0902.2969