Phân cấp trong NP (theo giả định rằng P! = NP)

Giả sử rằng P! = NP, tôi tin rằng đã có chứng minh rằng có những vấn đề không nằm trong P và không phải NP-Complete. Đồ thị đẳng cấu được phỏng đoán là một vấn đề như vậy.

Có bằng chứng nào về nhiều 'lớp' như vậy trong NP không? tức là một hierachy gồm hơn ba lớp bắt đầu từ P và đạt đến đỉnh cao trong NP, sao cho mỗi lớp là một siêu lớp thích hợp của lớp kia?

Có thể là thứ bậc là vô hạn?

Vâng! Trên thực tế, có thể chứng minh một hệ thống phân cấp vô hạn các vấn đề ngày càng khó hơn giữa P và NP-hoàn thành theo giả định rằng P! = NP. Đây là một hệ quả trực tiếp của bằng chứng Định lý Ladner (đã thiết lập sự không trống rỗng của NP \ P)

Chính thức, chúng ta biết rằng với mọi tập hợp S không có trong P, tồn tại S 'không có trong P sao cho S' có thể giảm Karp thành S nhưng S không thể giảm Cook thành S '. Do đó, nếu P! = NP, thì tồn tại một chuỗi vô hạn các bộ S ₁ , S ₂ ... trong NP \ P sao cho S _{i + 1} có thể giảm Karp thành S _i nhưng S _i không thể khử được Cook S _{i + 1} .

Phải thừa nhận rằng, phần lớn các vấn đề như vậy có bản chất rất không tự nhiên.

Có một khái niệm về "thuyết không giới hạn" giới hạn các bit không xác định được yêu cầu bởi máy Turing để đi đến một giải pháp. NP lớp yêu cầu ví dụ các bit O (n). Bằng cách giới hạn các bit không xác định thành polylog xác định một hệ thống phân cấp vô hạn của các lớp phức tạp được gọi là phân cấp \ beta P tất cả với các vấn đề hoàn chỉnh của riêng chúng.

Xem, ví dụ, bài viết sau đây để biết chi tiết: Goldsmith, Levy, Mundhenk, "Limited nondeterminism", SIGACT News, tập 27 (2), trang 20-29, 1996.