Đóng cửa dưới tổng số Minkowski.

Các Minkowski tổng của hai bộ vectơ được cho bởi $A, B \in R^d$

A \oplus B = {a + b ∣ a \in A, b \in B}

$A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}$

Tôi vừa nghe một vấn đề thú vị (được gán cho Dan Halperin): Cho hình , có tồn tại hình sao cho không? $B$ $A$ $A \oplus A = B$

Nhưng đó không phải là câu hỏi của tôi (nó dường như là một vấn đề mở). Quan sát rằng trong vấn đề trên, nếu là một tập hợp lồi, sau đó có tồn tại một giải pháp từ tập lồi đóng cửa dưới lấy tiền Minkowski. $B$ $A = (1/2)B$

Fix một lớp học của các hình dạng . Chúng ta nói rằng được đóng dưới tiền Minkowski nếu vì bất kỳ . ${\cal S}$ ${\cal S}$ $A, B \in {\cal S}, A \oplus B \in {\cal S}$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là:

Có một đặc điểm tốt đẹp của các lớp hình dạng được đóng dưới tổng số Minkowski? ${\cal S}$

cg.comp-geom

— Suresh Venkat
nguồn

Jukka: Tôi đã cập nhật câu hỏi.

— Suresh Venkat

Tôi đã đọc bản sửa đổi 2. (1) Tôi không thấy các bộ lồi của Lọ đã bị đóng như thế nào khi lấy số tiền của Minkowski, đó là lý do cho việc tồn tại một giải pháp A = (1/2) (2) Tôi nghi ngờ rằng có bất kỳ đặc tính tương đương nào đẹp hơn so với tình trạng đóng cửa dưới khoản tiền của Minkowski.

— Tsuyoshi Ito

Đúng là không có hàm ý trực tiếp. Nhưng bằng chứng sử dụng thực tế là tổng của hai bộ lồi là lồi. Tôi có thể tua lại để nói "cũng lưu ý rằng .." thay vì "kể từ ..."

— Suresh Venkat

Tôi không nghĩ rằng chúng ta sử dụng thực tế là tổng số Minkowski của hai tập lồi là lồi khi chứng minh (B / 2) (B / 2) = B cho tập hợp lồi B. Ngăn chứa (B / 2) (B / 2) B không liên quan gì đến độ lồi. Ngăn chặn (B / 2) (B / 2) B xuất phát từ thực tế là B là lồi: với mọi x, y∈B, (x / 2) + (y / 2) B vì độ lồi của B.

— Tsuyoshi Ito

@Yoshio: nó có thể Câu hỏi này cũng có thể liên quan đến công việc 'tổng hợp' trong các nhóm chung.

— Suresh Venkat

Mạng và không gian con tuyến tính được đóng dưới tổng số Minkowski. Đó là ít nhiều ngay lập tức từ định nghĩa của họ. Các mạng + không gian con tuyến tính được đóng dưới tổng số Minkowski (nghĩa là một thành viên của tập hợp này là một tập hợp các đường song song trong khoảng cách 1 với nhau). Các đa giác được kết nối với các lỗ được đóng lại dưới tổng số Minkowski. Các vòng [sự khác biệt đã đặt của hai đĩa đồng tâm] được đóng lại dưới tổng số củaowskiowski (một đĩa được coi là một vòng, một cách tự nhiên). Tập hợp các đoạn đường song song với một hướng nhất định được đóng dưới tổng số Minkowski. Khoai tây nấm được đóng dưới tổng chồnowski, nhưng chỉ khi chúng được nấu chín kỹ (hoặc có thể không, thì đã quá muộn) ...

Ngoài ra, gia đình của sự kết hợp hữu hạn của các vòng đồng tâm được đóng lại dưới tổng số củaowskiowski.

— Sariel Har-Peled
nguồn