Các vấn đề hình học là NP-đầy đủ trong

Một số vấn đề hình học rất dễ dàng khi được xem xét trong , nhưng NP-đầy đủ trong cho (bao gồm một trong những vấn đề yêu thích của tôi, bìa đĩa đơn vị).R d d ≥ $R^1$$R^d$$d\geq2$

Có ai biết về một vấn đề có thể giải quyết được nhiều thời gian cho và , nhưng NP-đầy đủ cho không? R 2 R d , d ≥ $R^1$$R^2$$R^d,d\geq3$

Tổng quát hơn, có tồn tại các vấn đề NP hoàn chỉnh cho nhưng có thể giải quyết được nhiều thời gian cho , trong đó không?R k - 1 k ≥ $R^k$$R^{k-1}$$k\geq3$

Đặt bìa bằng nửa khoảng trắng.

Cho một tập hợp các điểm trong mặt phẳng, và một tập hợp nửa máy tính toán số lượng nửa máy bay tối thiểu bao gồm các tập hợp điểm có thể được giải trong thời gian đa thức trong mặt phẳng. Tuy nhiên, vấn đề là NP khó trong 3d (khó hơn tìm bìa nhỏ bằng tập hợp con của các điểm trong 2d). Trong 3d, bạn được cung cấp một tập hợp con các nửa và các điểm, và bạn đang tìm kiếm số lượng các nửa không gian nhỏ nhất bao gồm các điểm.

Thuật toán polytime trong 2d được mô tả ở đây: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/ con / 08 / expand_cover/

Đó không hoàn toàn là những gì bạn yêu cầu, bởi vì phiên bản 3d thậm chí còn khó hơn NP-hoàn thành, nhưng: Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm giữa các chướng ngại vật đa giác trong mặt phẳng là trong thời gian đa thức (đơn giản nhất là xây dựng biểu đồ khả năng hiển thị của hai thiết bị đầu cuối và các đỉnh đa giác và áp dụng Dijkstra, cũng có thuật toán O (n log n) phức tạp hơn do Hershberger và Suri, SIAM J. Comput. 1999), nhưng việc tìm ra con đường ngắn nhất trong số các chướng ngại vật đa diện trong 3d là hoàn thành PSPACE (Canny và Reif, FOCS 1987).

Bất kỳ đa giác không lồi nào trong mặt phẳng đều có thể được tam giác hóa trong thời gian O (n) không có điểm Steiner; có nghĩa là, mọi đỉnh của tam giác là một đỉnh của đa giác. Hơn nữa, mọi tam giác đều có chính xác n-2 tam giác.

Tuy nhiên, việc xác định xem một khối đa diện không lồi trong R ^ 3 có thể được tam giác hóa mà không có điểm Steiner là NP-đầy đủ hay không. Kết quả độ cứng NP giữ ngay cả khi bạn được cung cấp hình tam giác với một điểm Steiner, do đó, thậm chí xấp xỉ số điểm Steiner tối thiểu cần thiết là NP-hard. [Jim Ruppert và Raimund Seidel. Về sự khó khăn của tam giác ba chiều không đối xứng. Tính toán rời rạc. Địa chất. 1992.]

Nếu khối đa diện đã cho là lồi, việc tìm tam giác là dễ dàng, nhưng tìm tam giác với số lượng tứ diện tối thiểu là NP-hard. [Alexander Dưới đây, Jesús de Loera và Jürgen Richter-Gebert. Sự phức tạp của việc tìm kiếm các tam giác nhỏ của 3 đa giác lồi . J. Thuật toán 2004.]

Vấn đề khả thi cho các đa giác -chiều là một ứng cử viên. Khi d ≤ 3 , nó có thể giải được thời gian đa thức (theo định lý của Steinitz ), nhưng khi d ≥ 4 , đây là NP-hard. Để biết thêm thông tin, vui lòng xem " Không gian hiện thực của 4 đa giác là phổ quát " của Richter-Gebert và Ziegler (cũng có phiên bản arxiv ) và cuốn sách " Bài giảng về đa giác " (in lần thứ 2) của Ziegler.$d$$d \le 3$$d \ge 4$

Quyết định xem một không gian số liệu có thể nhúng theo phương diện vào R ^ 2 hay không. Tuy nhiên, thật khó để quyết định khả năng nhúng R ^ 3.

$\ell_\infty^2$$\ell_\infty^3$

Giấy

$R^2$$R^3$$Z^2$$Z^3$

$k = 2$$Z^2$$Z^k$$k > 2$.