Liệu bao hàm ?

Theo tôi hiểu, chương trình lý thuyết phức tạp hình học cố gắng tách bằng cách chứng minh rằng hoán vị của ma trận có giá trị phức tạp khó tính hơn nhiều so với định thức.$VP \neq VNP$

Câu hỏi tôi đã có sau khi lướt qua các giấy tờ GCT: Điều này sẽ ngay lập tức ngụ ý , hay nó chỉ là một bước quan trọng đối với mục tiêu này?$P \neq NP$

Câu trả lời ngắn gọn là không'. Không có hàm ý như vậy được biết đến. Có hai trở ngại chính: Chuyển từ độ phức tạp của số học sang độ phức tạp boolean (VP ≠ VNP ngụ ý P / poly NP / poly) và sau đó đi từ độ phức tạp mạch boolean (P / poly ≠ NP / poly) đến độ phức tạp đồng nhất (P poly NP / poly) ). Cả hai bước này đều không được biết. Tuy nhiên, tôi tin rằng P / poly ≠ NP / poly ngụ ý VP ≠ VNP.

Giả sử giả thuyết Riemann tổng quát (GRH), các kết nối khá mạnh sau đây được biết đến giữa và sự sụp đổ của hệ thống phân cấp đa thức ( ):P $VP= VNP$${\rm PH}$

1. Nếu (trên bất kỳ trường nào) thì hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ xuống cấp thứ hai;$VP= VNP\,$
2. Nếu trên một trường có đặc tính , thì ;$VP=VNP\,$N C 3 / p o l y = P / p o l y = P H / p o l $0$$\rm{NC}^3/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$
3. Nếu trên một trường có đặc tính hữu hạn , thì .$VP=VNP\,$N C 2 / p o l y = P / p o l y = P H / p o l $p$$\rm{NC}^2/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$

Đây là kết quả từ: Peter Burgisser, " Giả thuyết của Cook so với Valiant ", Theor. Comp. Khoa học, 235: 71 Gian88, 2000.

Xem thêm: Burgisser, " Hoàn thành và giảm thiểu trong lý thuyết phức tạp đại số ", 1998.

Tôi có thể cung cấp cho bạn một lý do không chính thức về lý do tại sao việc phân tách sẽ không chứng minh .$P \ne NP$

VP và VNP tập trung vào các hàm đại số mà mức độ được giới hạn bởi một đa thức. Lưu ý rằng thật dễ dàng để tính toán trong một hàm đại số của mức độ mũ với một mạch đại số kích thước đa thức.

Có một mức giảm sâu 1 nổi tiếng đối với các mạch đại số: bất kỳ mạch đại số kích thước đa thức nào, một đa thức bậc có thể được biến thành một mạch đại số có kích thước đa thức và độ sâu .O ( log d log n $d$$O(\log d \log n)$

Bạn có thể nghĩ đến là một biến thể đại số của , do đó chứng minh rằng số tiền để chứng minh tương đương không đồng nhất đại số của . Điều đó sẽ không loại trừ , ít nhất là không ngay lập tức.N C 2 V P ≠ V N P N C 2 ≠ # P P = N $VP$$NC^2$$VP \ne VNP$$NC^2 \ne \# P$$P = NP$

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm : Tôi không thể truy cập vào bài báo ngay bây giờ và tôi không nhớ liệu việc giảm này có hiệu quả trong bất kỳ lĩnh vực nào hay chỉ trong các lĩnh vực hữu hạn.

1 LG Valiant, S. Skyum, S. Berkowitz, C. Rackoff. Tính toán song song nhanh của đa thức sử dụng một vài bộ xử lý . SIAM J. Tính toán. 12 (4), trang 641-644, 1983.