Tổng các sản phẩm có hệ số giới hạn

Bổ đề sau đây không khó để chứng minh.

Bổ đề : Đặt và . Nếu là số nguyên (một số trong số chúng có thể âm) sao cho , thì số nguyên thỏa mãn sao cho | m'_1 | + | m'_2 | + \ dot + | m'_r | \ leq poly (n) . Ở đây poly (n) có nghĩa là n ^ c cho một số hằng số dương c .$c_1 \neq c_2 \neq \dots \neq c_r \in [n]$$k \in [n]$$m_1, m_2, \dots, m_r$$m_1c_1 + m_2c_2 + \dots + m_rc_r = k$$\exists$$m'_1, m'_2, \dots,m'_r$$m'_1c_1 + m'_2c_2 + \dots + m'_rc_r = k$$|m'_1|+|m'_2|+\dots+|m'_r| \leq poly(n)$$poly(n)$$n^c$$c$

Tôi đoán rằng bổ đề trên là nổi tiếng. Tôi đang tìm kiếm một tài liệu tham khảo về bổ đề trên và ràng buộc tốt nhất có thể cho $poly(n)$ .

Một ràng buộc có thể thu được bằng bổ đề của Bézout :$O(n^2 \log r)$

Bổ đề. Với mọi số nguyên , cho một số số nguyên với .$0 < c_i \leq n$$\gcd(c_1,\ldots,c_r) = \sum_i m_i c_i$$m_i$$|m_i| \leq n \log r$

Bổ đề này có được bằng cách áp dụng đệ quy bổ đề của Bézout trên hai biến và danh tính .$\gcd(x_1,x_2,x_3) = \gcd(\gcd(x_1,x_2),x_3)$

Không mất tính tổng quát giả định rằng bằng cách chia trên cả hai mặt của . Bổ đề của Bézout tồn tại số nguyên với sao cho$\gcd(c_1,\ldots,c_r) = 1$$\gcd(c_1,\ldots,c_r)$$\sum_i m_i c_i = k$$m_i$$|m_i| \leq n \log r$

bằng cách quan sát chúng ta có mong muốn với .$k = O(n)$$m'_i = k \cdot m_i$$|m'_i| = O(n^2 \log r)$

Nếu bạn đang tìm kiếm tài liệu, từ khóa là phương trình Diophantine tuyến tính không thuần nhất , đó là phương trình khi . Đối với đồng nhất, người ta có thể có được một giới hạn tuyến tính trên, xem ví dụ này hoặc giấy này . Đối với người không đồng nhất, tôi chưa tìm thấy kết quả như vậy; tuy nhiên bài báo này có vẻ phù hợp.$\sum_i m_i c_i = k$$k = 0$$|m_i'|$