Người ta có thể khuếch đại P = NP ngoài P = PH không?

Trong mô tả phức tạp , Immerman có

Hệ quả 7.23. Các điều kiện sau là tương đương:
1. P = NP.
2. Trên cấu trúc hữu hạn, có trật tự, FO (LFP) = SO.

Điều này có thể được coi là "khuếch đại" P = NP thành một câu lệnh tương đương trên (có lẽ) các lớp phức tạp lớn hơn. Lưu ý rằng SO nắm bắt hệ thống phân cấp thời gian đa thức PH và FO (LFP) nắm bắt P, do đó, điều này có thể được coi là P = NP iff P = PH.

(Phần thú vị của điều này là tuyên bố rằng P = NP ngụ ý P = PH; thật tầm thường khi P = CC ngụ ý P = NP cho bất kỳ lớp CC nào có chứa NP. Immerman chỉ đơn giản nhận xét "nếu P = NP thì PH = NP" , có lẽ bởi vì P = NP có thể được sử dụng với định nghĩa orory của PH để hiển thị theo quy nạp rằng toàn bộ hệ thống phân cấp sụp đổ.)

Câu hỏi của tôi là:

P = NP có thể được khuếch đại thêm bao nhiêu nữa theo cách này?

Cụ thể, lớp CC lớn nhất được biết đến là gì mà P = NP ngụ ý P = CC 'và lớp CC nhỏ nhất sao cho P = NP ngụ ý CC = NP? Điều này sẽ cho phép P = NP được thay thế bằng câu hỏi tương đương CC = CC '. P dường như là một lớp khá mạnh, dường như cung cấp một "phòng ngọ nguậy" nhỏ cho các đối số đang cố tách nó ra khỏi NP: phòng ngọ nguậy có thể được khuếch đại bao xa?

Tất nhiên tôi cũng sẽ quan tâm đến một đối số cho thấy P = PH là giới hạn của phương pháp này.

Chỉnh sửa: lưu ý câu hỏi liên quan chặt chẽ Tại sao P = NP không ngụ ý P = AP (tức là P = PSPACE)? trong đó tập trung vào hướng khác, tại sao chúng ta không có bằng chứng rằng P = PSPACE. Câu trả lời ở đó của Kaveh và Peter Shor cho rằng số lượng thay thế đang được cố định là chính. Một câu hỏi liên quan khác là Một vấn đề quyết định không được biết đến trong PH nhưng sẽ ở P nếu P = NP yêu cầu một vấn đề ứng cử viên; các câu trả lời cũng có thể được sử dụng để xây dựng câu trả lời cho câu hỏi này, mặc dù các lớp này hơi giả tạo (cảm ơn Tsuyoshi Ito đã chỉ ra điều này). Trong một thiết lập tổng quát hơn, Thu gọn máy tính bảo vệ ngoại lệ và xen kẽ hỏi xem sự sụp đổ cục bộ ở bất kỳ cấp độ nào trong hệ thống phân cấp xen kẽ có gây ra sự sụp đổ đi lên hay không, như xảy ra với hệ thống phân cấp thời gian đa thức.

Từ bình luận của Russell Impagliazzo :

Như một cách để chính thức hóa những gì ngôn ngữ là trong nếu P = N P , Regan giới thiệu lớp phức tạp H . Một ngôn ngữ L là trong H nếu và chỉ nếu L là trong P O tương ứng với mỗi oracle O để P O = N P O . Do đó, L nằm trong H nếu câu lệnh P = N $\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{P}^O$$O$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$$L$$\mathsf{H}$ relativizes. P H ⊆ H ⊆ A l t T i m e ( O ( lg lg n ) , p o l y ) . Từ định lý của Toda và một số bổ đề trong định lý của Toda, cũng đúng là H ⊆ P m o d q P với mọi q . Về cơ bản, bất kỳ nhà tiên tri nào thỏa mãn P O = N P O đều đưa ra giới hạn trên mới$\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$$\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$$q$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ . Nó mở cửa cho dù H = P H .$\mathsf{H}$$\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

Và từ nhận xét của Lance Fortnow :

Đặt là bất kỳ hàm không giới hạn nào. H không có trong A l t T i m e ( f ( n ) , p o l y ) và nếu bạn có thể chứng minh P = N P ngụ ý P = A l t T i m e ( f ( n ) , p o l y ) rồi $f(n)$$\mathsf{H}$$\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ khác với L .$\mathsf{NP}$$\mathsf{L}$

Để định nghĩa xem định nghĩa 6.3 trong$\mathsf{H}$

• Kenneth W. Regan, " Tập hợp chỉ mục và thuyết trình về các lớp phức tạp ", 1999

Như tôi đã viết trong câu trả lời của mình cho câu hỏi khác, hãy làm cho đối số có tính xây dựng và thống nhất về số lượng thay thế bằng cách đưa ra thuật toán giải quyết giả sử rằng chúng ta có thuật toán đa thức cho SAT và xem chúng ta sẽ nhận được gì nếu k không phải là hằng số$\Sigma^P_k$$k$

Đặt là DTM có hai đầu vào x và y . Hãy nghĩ về nó như một công cụ xác minh cho một vấn đề N $M$$x$$y$$\mathsf{NP}$

$Cook(M, \vec{n}, t)$$M$$s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$$M$$\vec{n}$$t$

$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$A$$p\in\mathsf{poly}$

$s_i$$i$$s_{i+1} = s\circ p(s_i)$$k$$q(n) = (s \circ p)^k(n)$$n$ là kích thước của công thức TQBF được đưa ra làm đầu vào.

$k$$q(n) \in \mathsf{poly}$$\mathsf{P}$

$k \in \omega(1)$$q(n)$$n^{2^{O(k)}}$$k = \lg \lg n$$k = \lg n$

$C$

$C$$\mathsf{H}$$\mathsf{H}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$$\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

Tôi cũng thấy rằng chỉ có một cách duy nhất để tương đối hóa một lớp phức tạp có vấn đề gây ra nhiều quan niệm sai lầm (như suy nghĩ tương đối hóa như là một hoạt động chức năng trên các lớp phức tạp theo nghĩa mở rộng của chúng, một thuyết tương đối là một sửa đổi của mô hình tính toán , không phải là một lớp chức năng hoặc ngôn ngữ). Tôi nghĩ rằng xem các tương đối hóa như các khung tính toán được sửa đổi (tương tác) là hữu ích hơn. Cách này có nhiều cách hữu ích để tương đối hóa một lớp phức tạp (theo ý nghĩa của nó). Để có được bất kỳ thông tin nào về cài đặt không tương thích từ khung tương đối hóa, chúng ta cần một số loại nguyên tắc chuyển tương tự như nguyên tắc chuyển trong phân tích không chuẩn. Lưu ý rằng việc chọn một số phương pháp tương đối hóa cụ thể cho các lớp bảo tồn các mối quan hệ đã biết giữa các lớp không cho chúng ta một nguyên tắc chuyển giao (đây là tiêu chí chính thường được sử dụng trong tài liệu để quyết định "tương đối đúng của một lớp" là gì.