Xây dựng tốt hơn một ngẫu nhiên.

Tôi quan tâm đến các ví dụ về các công trình trong lý thuyết phức tạp tốt hơn các công trình ngẫu nhiên.

Một ví dụ duy nhất về việc xây dựng như vậy mà tôi biết là trong lĩnh vực mã sửa lỗi. Mã hình học đại số tốt hơn trong một số phạm vi tham số so với mã ngẫu nhiên.

Người ta có thể dễ dàng xây dựng các ví dụ nhân tạo như vậy. Tôi quan tâm đến các ví dụ như mã hình học đại số, nơi dễ dàng thực hiện một cấu trúc ngẫu nhiên và không rõ ràng làm thế nào để làm tốt hơn.

Đồ thị Ramanujan có thứ hai eigenvalue (vớiDmức độ của đồ thị), trong khi đồ thị ngẫu nhiên chỉ đạtλ2≤2$\lambda_2\leq \frac{2\sqrt{D-1}}{D}$$D$WHP Trong thực tế, trong chúng tôi nói chung đã làλ2≥2$\lambda_2\leq \frac{2\sqrt{D-1}}{D} + o(1)$, vớio(1)hạn sẽ0vớiDtổ chức hằng số (như số lượng các đỉnhN→∞), vì vậy trong một ý nghĩa nào đó là tối ưu.$\lambda_2\geq \frac{2\sqrt{D-1}}{D} - o(1)$$o(1)$$0$$D$$N\rightarrow \infty$

$\{ 1,\ldots,N \}$$\{ 1,\ldots,N\}$$N^{0.9}$$N^{1-o(1)}$

$n$$n-1$

Nói chung, các cấu trúc ngẫu nhiên và các cấu trúc tham lam đạt được các giới hạn giống nhau (ví dụ: mã sửa lỗi). Có lần tôi nghe một cuộc nói chuyện của Lovasz, nơi anh ấy nói rằng những lựa chọn tham lam và lựa chọn ngẫu nhiên về cơ bản là giống nhau. Vì vậy, bất kỳ công trình nào đánh bại công trình tham lam nên cung cấp câu trả lời cho câu hỏi của bạn. Lấy ví dụ nhanh, việc xây dựng đạt được khả năng của đồ thị Sperner là loại này. Như Peter Shor đã nói, thực sự có rất nhiều ví dụ trong tổ hợp cực đoan.