Độ cứng NP của một trường hợp đặc biệt của Phân vùng số

Hãy xem xét vấn đề sau đây,

• Cho một tập hợp số dương trong đó là hằng số, chúng tôi muốn phân chia tập hợp thành tập con có kích thước sao cho tích của tổng của mỗi tập hợp con được tối đa hóa.$n = k m$$\{ a_1, \dots, a_n \}$$k \ge 3$$m$$k$

Vấn đề khá giống với phân vùng số -way nổi tiếng ngoại trừ chúng tôi có giới hạn về số lượng trong mỗi phân vùng. Với , có thể đề xuất thuật toán đa thức đơn giản sau đây,$m$$k = 2$

• giả sử các số được sắp xếp, tức là . Sau đó, với gán cho tập con , với , gán nó cho tập con .$a_1<a_2<...<a_n$$i≤m$$a_i$$i$$i>m$$n−i+1$

Không khó để thấy lý do tại sao thuật toán hoạt động. Chỉ cần chọn hai thùng tùy ý. Bất kỳ trao đổi trong các số sẽ không làm tăng số lượng sản phẩm.

Nhưng đối với các lớn hơn , tôi tự hỏi liệu vấn đề có thể được giải quyết trong thời gian đa thức hay không? Tôi cũng rất biết ơn nếu ai đó có thể chỉ ra độ cứng của nó.$k$

Lưu ý: Tôi gặp phải sự cố khi tôi đang xử lý sự cố lập lịch trong mạng không dây. Tôi tìm thấy một thuật toán heuristic tốt để giải quyết vấn đề. Nhưng sau một thời gian tôi nghĩ vấn đề có thể thú vị về mặt lý thuyết.

(Đây là phiên bản chi tiết hơn một chút về nhận xét của tôi về câu hỏi.)

Như Turkistany đã đề xuất trong một nhận xét về câu hỏi, vấn đề này là NP-hard cho mọi hằng số k ≥3 bằng cách giảm từ vấn đề k -partition. Việc giảm hoàn toàn không thay đổi trường hợp: chỉ cần lưu ý rằng mức tối đa của sản phẩm là ít nhất (∑ a _i / k ) ^m khi và chỉ khi các số có thể được phân chia thành m đặt cho mỗi số có kích thước k có tổng tất cả đều bình đẳng.

Lưu ý rằng đầu vào của vấn đề k -partition thường được xác định là số km có thể không hoàn toàn khác biệt , và điều này rất cần thiết trong bằng chứng tiêu chuẩn về tính đầy đủ NP của nó (chẳng hạn như số liệu ở Garey và Johnson ). Do đó, việc giảm ở trên chỉ chứng minh độ cứng NP của sự khái quát hóa một chút về vấn đề hiện tại trong đó đầu vào được phép là đa biến thay vì tập hợp. Tuy nhiên, khoảng trống này có thể được lấp đầy bởi vì vấn đề k -partition vẫn hoàn thành NP ngay cả khi các số trong đầu vào được yêu cầu phải khác biệt; xem [HWW08] để biết trường hợp k = 3 (xem thêm câu trả lời của Serge Gasperscho một câu hỏi khác), có thể được sửa đổi dễ dàng cho các giá trị lớn hơn của k .

Ngoài ra, mọi thứ được nêu ở đây vẫn là NP-Complete / NP-hard ngay cả khi các số trong đầu vào được đưa ra một cách đơn nhất.

[HWW08] Heather Hulett, Todd G. Will, Gerhard J. Woeginger. Thực hiện nhiều bước của trình tự độ: Tối đa hóa là dễ dàng, tối thiểu hóa là khó khăn. Thư nghiên cứu hoạt động , 36 (5): 594 Từ596, tháng 9 năm 2008 http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004