Mối liên quan giữa tham số cố định và thuật toán xấp xỉ

Tham số cố định và xấp xỉ là các cách tiếp cận hoàn toàn khác nhau để giải quyết các vấn đề khó khăn. Họ có động lực khác nhau. Xấp xỉ tìm kết quả nhanh hơn với giải pháp gần đúng. Tham số cố định tìm kiếm giải pháp chính xác với độ phức tạp thời gian theo hàm mũ hoặc một số hàm của k và hàm đa thức của n trong đó n là kích thước đầu vào và k là tham số. Ví dụ .$2^kn^3$

Bây giờ câu hỏi của tôi, là có bất kỳ trên hoặc thấp hơn kết quả ràng buộc dựa trên mối quan hệ giữa tham số cố định và phương pháp tiếp cận xấp xỉ hoặc họ hoàn toàn không có bất kỳ ví dụ relationship.For cho một vấn đề được gọi là khó khăn cho một số không liên quan gì đến việc có thuật toán xấp xỉ c hoặc PTAS. vui lòng cung cấp một số tài liệu tham khảoW [ i ] i > $P$$W[i]$$i>0$

Có một số kết nối giữa độ phức tạp tham số và thuật toán xấp xỉ.

Đầu tiên, hãy xem xét cái gọi là tham số hóa tiêu chuẩn của một vấn đề. Ở đây, tham số là những gì bạn sẽ tối ưu hóa trong phiên bản tối ưu hóa của vấn đề (kích thước của nắp đỉnh cho vấn đề Vertex Cover, chiều rộng của phân rã cây cho vấn đề Cây thông, v.v.). Hãy để chúng tôi xem xét cụ thể về Vertex Cover. Bất kỳ hạt nhân nào có số đỉnh tuyến tính cho Vertex Cover đều ngụ ý thuật toán xấp xỉ thời gian đa thức nhân tố không đổi: vào giải pháp gần đúng, đặt tất cả các đỉnh đã được ép buộc vào giải pháp bằng thuật toán nhân và tất cả các đỉnh của thể hiện nhân . Mặt khác, giới hạn dưới của yếu tố gần đúng ngụ ý giới hạn thấp hơn về kích thước của hạt nhân. Ví dụ: theo phỏng đoán trò chơi độc đáo, Khot và Regev (JCSS 2008)loại trừ các thuật toán xấp xỉ cho Vertex Cover với tỷ lệ của bất kỳ , cũng loại trừ một hạt nhân cho Vertex Cover với hầu hết các đỉnh , ,.c k c < $c<2$$ck$$c<2$

EDIT: Việc lập luận cho kernel bị ràng buộc thấp hơn trong đoạn trước là rất không chính thức và theo hiểu biết tốt nhất của tôi, liệu có thể chứng minh được các giới hạn thấp hơn như vậy đối với kích thước kernel, ngay cả đối với Vertex Cover. Như @Falk chỉ ra trong các bình luận, đối số giữ cho hầu hết (tất cả?) Hạt nhân đã biết. Tuy nhiên, tôi không thấy làm thế nào người ta có thể loại trừ sự tồn tại của các thuật toán nhân hóa trong đó một giải pháp khả thi của thể hiện hạt nhân có tỷ lệ gần đúng khác với giải pháp tương ứng trong ví dụ ban đầu.

Sau đó, có vấn đề về PTAS so với FPTAS. Nếu chúng tôi muốn tìm một giải pháp trong từ tối ưu, chúng tôi có thể tham số hóa bằng . Sau đó, PTAS tương ứng với thuật toán XP trong cài đặt được tham số hóa, trong khi đó, FPTAS tương ứng với thuật toán FPT. Đối với giới hạn xấp xỉ thấp hơn, chúng tôi có thể không mong đợi EPTAS cho bất kỳ vấn đề nào có tham số chuẩn là W [1] -hard: chạy EPTAS với sẽ giải quyết vấn đề chính xác theo thời gian của FPT.1 / ϵ ϵ = 1 / ( k + 1 $(1+\epsilon)$$1/\epsilon$$\epsilon=1/(k+1)$

Cuối cùng, thuật toán xấp xỉ FPT là thuật toán có thời gian chạy của FPT và tỷ lệ xấp xỉ có thể phụ thuộc vào tham số. Ví dụ: tham số hóa tiêu chuẩn của bài toán Cliquewidth có thuật toán xấp xỉ FPT với tỷ lệ gần đúng (Oum, WG 2005) , trong khi tham số chuẩn của Bộ thống trị độc lập không có xấp xỉ FPT thuật toán với tỷ lệ hiệu suất cho bất kỳ hàm tính toán , trừ khi FPT = W [2] (Downey và cộng sự, IWPEC 2006) . Xem (Marx, Tạp chí máy tính 2008) để biết khảo sát về xấp xỉ của FPT.g ( k ) $(2^{3k+2}-1)/k$ $g(k)$$g$

Có định lý đã biết [1, Định lý 3.1], mô tả lớp xấp xỉ thông qua lớp tham số :P F P $FPTAS$$PFPT$

Đặt là một vấn đề tối ưu hóa có thể mở rộng . Sau đó, có một khi và chỉ khi ở .$Q=(I_Q, S_Q, f_Q, opt_Q)$$NP$$Q$$FPTAS$$Q$$PFPT$

Đổi lại, được định nghĩa là:$PFPT$

Một vấn đề tối ưu hóa là đa thức cố định tham số cố định ( ) nếu phiên bản tham số hóa của nó có thể giải quyết được trong thời gian , trong đó- kích thước của thể hiện đầu vào .$NP$$Q$$PFPT$$O(|x|^{O(1)}k^{O(1)})$$|x|$$x$

Một đặc tính khác cho hai lớp gần đúng được đề xuất trong [2, Định lý 6.5].

Một vấn đề là

• trong khi và chỉ khi nó có và tham số chuẩn của nó là trong .p t a s ∞ X P $PTAS$$ptas^{\infty}$$XP^w$

• trong khi và chỉ khi nó có với hàm ngưỡng giới hạn đa thức và tham số chuẩn của nó là trong .f p t a s ∞ P F P T $FPTAS$$fptas^{\infty}$$PFPT^w$

Ở đây có nghĩa là sơ đồ xấp xỉ đa thức tiệm cận (đầy đủ), tham số chuẩn - phiên bản quyết định của một vấn đề tối ưu hóa, - các lớp vấn đề quyết định tương ứng mà thuật toán quyết định chúng trả về chứng kiến ​​nếu câu trả lời là Có, hàm ngưỡng - hàm tùy thuộc vào lỗi và giới hạn từ bên dưới một giá trị tối ưu. ( X P ) P F P T w $(f)ptas^{\infty}$$(XP)PFPT^w$$\frac{1}{\epsilon}$

1. Các sơ đồ gần đúng thời gian đa thức và độ phức tạp tham số . J. Chen và cộng sự. / Toán học ứng dụng rời rạc 155 (2007) 180 - 193.
2. Cấu trúc của xấp xỉ thời gian đa thức . EJ van Leeuwen et al. Báo cáo kỹ thuật UU-CS-2009-034, tháng 12 năm 2009.