Điều gì xảy ra nếu chúng ta cải thiện các định lý phân cấp thời gian?

10

Tóm lại, các định lý phân cấp thời gian nói rằng một máy Turing có thể giải quyết nhiều vấn đề hơn nếu nó có nhiều thời gian hơn cho việc tính toán. Cụ thể cho TM xác định và các hàm có thể xây dựng theo thời gian với đó là và đối với TM không điều kiện và các hàm có thể xây dựng theo thời gian với đó là Có rất nhiều kết quả (cũ và hiện tại) sử dụng các định lý phân cấp thời gian để chứng minh các giới hạn thấp hơn. Đây là câu hỏi của tôi: $f,g$ $f(n) \log f(n) = o(g(n))$

D T I M E (f (n)) ⊊ D T I M E (g (n))

$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(g(n))$

f, g

$f,g$

f (n + 1) = o (g (n))

$f(n+1)=o(g(n))$

N T I M E (f (n)) ⊊ N T I M E (g (n)) .

$NTIME(f(n)) \subsetneq NTIME(g(n)).$

Điều gì xảy ra nếu chúng ta có thể chứng minh một kết quả tốt hơn cho trường hợp xác định hoặc không xác định?
Nếu chúng ta có thể chứng minh rằng có một khoảng cách giữa hệ thống phân cấp thời gian xác định và hệ thống phân cấp thời gian không xác định, thì điều này có ngụ ý $P \neq NP$ không?

— Marc Bury
nguồn

Chỉ cần một lưu ý nhỏ. Đối với máy T -băng Turing có

k > 2

$k > 2$ , định lý phân cấp thời gian có thể được cải thiện: cstheory.stackexchange.com/questions/5297/ Lỗi

— Michael Wehar

4

Về câu hỏi thứ hai của bạn. Không, điều đó sẽ không bao hàm $P \neq NP$ . Các định lý phân cấp chủ yếu là hữu ích để xác định lượng tài nguyên duy nhất cần thiết cho một TM để có thể giải quyết các vấn đề bổ sung.

Ví dụ: chúng ta biết rằng . Đặt , , sao cho và . $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $f(n) = n$ $g(n)$ $h(n)$ $f(n+1) = o(g(n))$ $f(n)log(f(n)) = o ( h(n) )$

Từ các định lý phân cấp, theo và . Theo các giả định đó, là có thể. $DTIME( f(n) ) \subsetneq DTIME( g(n) )$ $NTIME ( f(n) ) \subsetneq NTIME( h(n) )$ $NTIME( g(n) ) \subseteq DTIME( h(n) )$

Các định lý phân cấp có thể được sử dụng để xác định mối quan hệ giữa các tài nguyên, được đưa ra một sự bình đẳng giữa chúng. Ví dụ: giả sử rằng . Chúng ta biết rằng , với sao cho , không thể bằng , do định lý phân cấp NTIME. $NTIME(2^{n}) = SPACE( n )$ $NTIME( g(n) )$ $g(n)$ $2^{n+1} = o(g(n))$ $SPACE(n)$

— chazisop
nguồn

1

Tôi không thấy lý do tại sao một khoảng cách không thể ám chỉ . Tất nhiên nó không phải là một hàm ý trực tiếp của khoảng cách nhưng có lẽ có một hàm ý trung gian khác ngụ ý nó.

P \neq N P

$P \neq NP$

— Marc Bury

0

các thms phân cấp cũng nói về sự liên tục về thời gian và không gian (được xem xét riêng) và có vẻ như tính liên tục không "chi tiết" hơn so với các định lý, nghĩa là chúng có thể là "độ chi tiết" tốt nhất có thể.

câu hỏi thứ 2 của bạn dường như không rõ ràng hoặc có thể không được xác định rõ trừ khi bạn có thể xác định rõ hơn ý của bạn bằng "khoảng cách". tất cả các vấn đề có thể quyết định đều có thể giải quyết được ở đâu đó trong cả hai hệ thống phân cấp. khó khăn là để xác định mối quan hệ tương quan. một trong những "khoảng trống" hoặc sự tách biệt hiếm hoi trong lý thuyết hiện tại đã thực sự được chứng minh trong thời gian xác định so với thời gian không xác định sao cho [1]. xem thêm [2] cho một câu hỏi tương tự & những tiến bộ "gần đây" $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$

[1] PPST1983 http://dl.acm.org/cites.cfm?id=1382850

[2] NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?

— vzn
nguồn