Làm thế nào để tạo ra một biểu đồ ngẫu nhiên không có chu trình Hamilton?

Đặt lớp A biểu thị tất cả các đồ thị có kích thước có chu trình Hamilton. Thật dễ dàng để tạo một biểu đồ ngẫu nhiên từ lớp này - lấy nút bị cô lập, thêm một chu kỳ Hamilton ngẫu nhiên và sau đó thêm các cạnh ngẫu nhiên. $n$ $n$

Đặt lớp B là tất cả các đồ thị có kích thước không có chu trình Hamilton. Làm thế nào chúng ta có thể chọn một biểu đồ ngẫu nhiên từ lớp này? (hoặc làm một cái gì đó gần với điều đó) $n$

ds.algorithms graph-theory

— Jagadish
nguồn

Làm thế nào rõ ràng rằng thủ tục đầu tiên tạo ra các biểu đồ thống nhất ngẫu nhiên? Rõ ràng là nó luôn tạo ra các biểu đồ Hamilton, nhưng vì bạn ngẫu nhiên thêm các cạnh sau đó, bạn có thể giới thiệu nhiều chu kỳ Hamilton hơn, làm cho một số biểu đồ xuất hiện thường xuyên hơn các biểu đồ khác.

— Robin Kothari

Điều này đúng nhưng phân phối thống nhất không được yêu cầu (nếu có thể ngụ ý).

— Raphael

Vâng, tôi không quan tâm đến tính đồng nhất. Tôi muốn cung cấp cho mọi đồ thị trong gia đình đồ thị phi Hamilton một số cơ hội được chọn. Vấn đề với lấy mẫu thống nhất khá cơ bản: AFAIK, chúng tôi không biết làm thế nào mẫu thống nhất từ một họ đồ thị có kích thước n, chứ đừng nói đến những người có chu kỳ Hamilton.

— Jagadish

Câu trả lời:

Điều này là không thể (trừ khi NP = coNP) vì cụ thể hàm ý hàm đa thời gian có phạm vi là đồ thị không phải Hamilton (hàm đi từ chuỗi ngẫu nhiên đến đồ thị đầu ra), do đó sẽ ngụ ý một bằng chứng NP về tính không phải Hamilton (để chứng minh G không có mạch Hamilton, hiển thị x ánh xạ tới nó.)

— Buổi sáng
nguồn

Bạn cho rằng một hàm như vậy thuộc về lớp đồ thị không phải của Hamilton. Đây chỉ là trường hợp nếu chúng tôi muốn phân phối được thống nhất. Xem thêm bình luận của Aaron bên dưới: cstheory.stackexchange.com/questions/562/iêu

— Ohad Kammar

Điều này không giả định bất cứ điều gì về xác suất của việc chọn từng biểu đồ (giống như nó là thống nhất), chỉ có điều các biểu đồ có thể được xuất ra bởi các thuật toán là chính xác các biểu đồ không phải là Hamilton (lên). Nếu bạn cho phép lỗi ở hai bên, thì thực sự điều này có thể xảy ra.

— Noam

Tôi đồng ý, đó không phải là sự đồng nhất của phân phối mới là vấn đề, mà thực tế là tất cả các đồ thị phi Hamilton có xác suất khác không. Nếu thậm chí một trong số chúng có xác suất bằng không, bằng chứng của bạn sẽ không áp dụng (không có thêm kiến thức về hỗ trợ phân phối).

— Ohad Kammar

@Ohad: nếu một trong số chúng bị bỏ lỡ, thì bạn chỉ có thể thêm phần này vào bảng tra cứu. Tôi nghĩ rằng các vấn đề chỉ bắt đầu nếu bạn bỏ lỡ một phần tích cực của chúng, nhưng sau đó bạn không lấy mẫu thống nhất.

— Emil

1 - ϵ

$1-\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ \to 0

$\epsilon \rightarrow 0$

\infty

$\infty$

$G_{n,m}$ $m$ $n$

$n$

— Aaron
nguồn

Đây là một ý tưởng tốt, mặc dù chúng ta có thể bỏ qua toàn bộ thuật toán xác suất để tìm chu trình Ham. Câu hỏi không yêu cầu quy trình lấy mẫu chạy trong thời gian dự kiến hoặc bất cứ điều gì. Vì vậy, hãy tạo một biểu đồ ngẫu nhiên từ phân phối yêu thích của bạn, xác định xem đó có phải là Hamilton với một số thuật toán chính xác không và nếu đó là Hamilton thì hãy loại bỏ nó và lặp lại quy trình. Nếu phân phối được sử dụng là phân phối đồng đều trên tất cả các biểu đồ được gắn nhãn, thì điều này thực sự sẽ tạo ra mọi biểu đồ được dán nhãn không phải Hamilton với xác suất thống nhất.

— JimN

Nhiệm vụ đầu tiên là dễ dàng vì đồ thị Hamilton rất dễ xác minh. Tuy nhiên, không có bằng chứng ngắn nào được biết có thể được xác minh một cách hiệu quả để chứng kiến rằng biểu đồ đã cho là không phải Hamilton.

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

Tôi nghĩ rằng câu trả lời của Turkistany đưa ra một câu hỏi thú vị. Nói chung, có thể lấy mẫu thống nhất từ một ngôn ngữ đồng NP-hoàn chỉnh không?

— Suresh Venkat

.... và Noam trả lời rằng trong phủ định.

— Suresh Venkat