Bằng chứng tương tác qua Postselection?

Xác định mô hình tính toán MPostBQP giống hệt với PostBQP ngoại trừ chúng tôi cho phép nhiều phép đo qubit trước khi chọn sau và phép đo cuối cùng.

Chúng tôi có thể đưa ra bất kỳ bằng chứng nào cho thấy MPostBQP mạnh hơn PostBQP không?

Xác định MPostBQP [k] để cho phép nhiều vòng đo và postelection trước khi chúng tôi thực hiện phép đo cuối cùng. Chọn lập chỉ mục để MPostBQP [1] = PostBQP và MPostBQP [2] = MPostBQP, v.v. (Cập nhật: Một định nghĩa chính thức được đưa ra dưới đây.)

Hãy xem xét các trò chơi Arthur-Merlin. Có lẽ chúng ta có thể mô phỏng chúng trong mô hình tính toán này: Postselection có thể đảm nhận vai trò tạo ra thông điệp thuyết phục của Merlin và các phép đo trung gian có thể đóng vai trò tung đồng xu công khai của Arthur. Khả năng này khiến tôi hỏi:

Chúng ta có AM [k] MPostBQP [k]?$\subset$

Điều này thực sự được biết đến với , trong đó nói MA ⊂ PP. Để hiển thị nó cho k = 2 có nghĩa là MPostBQP = PP chỉ khi AM ⊂ PP. Vì có một lời tiên tri liên quan đến AM không có trong PP , điều này có thể đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi đầu tiên của tôi.$k=1$$\subset$$k=2$$\subset$

Cuối cùng, đối với trường hợp nhiều vòng,

Chúng ta có pspace MPostBQP [nhiều]? Nếu vậy, nó có bình đẳng không?$\subset$

Điều này sẽ rất thú vị về mặt triết học (ít nhất là đối với tôi) bởi vì nó sẽ cho chúng ta biết rằng loại vấn đề "có thể điều chỉnh được" đối với một "phù thủy đăng bài" bao gồm (hoặc là ) tất cả PSPACE.

EDIT: Tôi đã được yêu cầu một định nghĩa chính thức về MPostBQP. (Tôi đã cập nhật những gì sau đây.)

MPostBQP [k] là lớp các ngôn ngữ mà tồn tại một gia đình thống nhất của các mạch lượng tử đa thức kích thước { C n } n ≥ 1 sao cho với mọi đầu vào x , thủ tục dưới đây sản lượng đúng với xác suất ít nhất 2 / 3 nếu x ∈ L , và với xác suất tối đa là 1 / 3 nếu x ∉ L . Quy trình, cho phép một số lựa chọn có thể phụ thuộc vào L (nhưng không phải $L \subset \{0,1\}^*$$\{C_n\}_{n \geq 1}$$x$$2/3$$x \in L$$1/3$$x \notin L$$L$$x$), được định nghĩa như sau:

Quy trình: Bước 1. Áp dụng toán tử đơn vị tương ứng với cho trạng thái đầu vào | 0 ⋯ 0 ⟩ ⊗ | x ⟩ . Lưu ý độ dài của đầu tiên | 0 ⋯ 0 ⟩ đăng ký là tại hầu hết các đa thức trong chiều dài của x . Bước 2. Với i = 1 ⋯ k : Nếu i là số chẵn, thì hãy đo bất kỳ số lượng qubit mong muốn nào từ thanh ghi đầu tiên (nhiều nhất là nhiều đa thức, với kích thước của thanh ghi). Nếu $C_n$$\left\vert 0\cdots 0\right> \otimes \left\vert x \right>$$\left\vert0\cdots 0\right>$$x$$i = 1 \cdots k$$i$$i$là số lẻ, sau đó đăng bài để một qubit duy nhất được chọn trong thanh ghi đầu tiên đo là (và có một sự đảm bảo rằng xác suất không phải là zero nên postselection là hợp lệ, tất nhiên). Bước 3. Cuối cùng, đo một qubit cuối cùng trong thanh ghi đầu tiên và trả về true nếu chúng ta đo | 1 ⟩ và sai khác.$\left\vert 0 \right>$$\left \vert 1 \right>$

Chúng tôi có MPostBQP [0] = BQP, MPostBQP [1] = PostBQP và MPostBQP: = MPostBQP [2]. Tôi đang cố gắng phản chiếu các lớp Arthur-Merlin trong đó AM [0] = BPP, AM [1] = MA và AM [2] = AM.

EDIT (27/03/11 5 PM): Dường như có tranh luận về cách xác định postelection trong bối cảnh này. Rõ ràng, ý tôi là cho một định nghĩa không tầm thường hóa câu hỏi của tôi! :) Định nghĩa tôi đã giả sử là như sau: Việc chọn bài trên bit thứ k có nghĩa là chúng ta chiếu trạng thái vào không gian con trong đó bit thứ k là $0$và bình thường hóa Nó chỉ ra rằng trong một sơ đồ nơi chúng tôi đăng bài trước khi thực hiện các phép đo, sau đó chúng tôi có thể có được số liệu thống kê cuối cùng bằng cách xem xét các xác suất có điều kiện trong một sơ đồ nơi các bài đăng được thay thế bằng các phép đo. Tuy nhiên, tôi cho rằng đặc tính này bị phá vỡ khi các phép đo và các phần đăng được xen kẽ. Tôi nghĩ rằng sự nhầm lẫn bắt nguồn từ những người sử dụng "định nghĩa xác suất có điều kiện" này (hoạt động trong trường hợp đặc biệt mà tôi đang khái quát hóa) như định nghĩa của postelection, thay vì định nghĩa "đo lường cưỡng bức" mà tôi vừa đưa ra, điều này phụ thuộc rõ ràng vào trật tự vì thiếu giao hoán. Tôi hi vọng cái này giúp được!

EDIT (27/03/11 9 PM): Tôi đã xác định postelection trong chủ nghĩa hình thức nhà nước thuần túy rồi. Niel đã đưa ra một phân tích trong chủ nghĩa hình thức ma trận mật độ không đồng ý với tôi về ví dụ 3 qubit. Thủ phạm là, một lần nữa, định nghĩa của postelection. Xác định postelection trong cài đặt ma trận mật độ như sau. Cho ma trận mật độ , viết lại dưới dạng hỗn hợp các trạng thái có thể tách rời M = ∑ p i | một i ⟩ ⟨ một i | . Hãy để | Một i ⟩ là kết quả của postselection (trên một số qubit) bằng cách sử dụng hình thức tinh khiết-state tôi định nghĩa ở trên. Xác định kết quả của postelection trên M là$M$$M = \sum p_i \left\vert a_i \right> \left< a_i \right\vert$$\left\vert A_i \right>$$M$.$\sum p_i \left\vert A_i \right> \left< A_i \right\vert$

Đây là một định nghĩa hợp lý hơn, bởi vì nó không cho chúng ta kết quả mà nói rằng sau khi chúng ta chọn sau, chúng ta thay đổi số liệu thống kê về các sự kiện (các phép đo) mà chúng ta đã xem xảy ra. Đó là, 's là xác suất của đồng tiền chúng tôi đã 'đã lật'. Tôi không có ý nghĩa gì khi nói rằng chúng ta sẽ quay ngược thời gian và thiên vị một vụ lật xu đã xảy ra bởi vì điều đó sẽ khiến cho việc đăng bài hiện tại có nhiều khả năng.$p_i$

EDIT (28/11/11 1 PM): Niel thừa nhận rằng với định nghĩa của tôi, vấn đề có ý nghĩa và không tầm thường hóa - nhưng với quy định rằng tôi không nên gọi nó là postelection . Đưa ra số lượng nhầm lẫn, tôi phải đồng ý với anh ta. Vì vậy, hãy gọi những gì tôi xác định là lựa chọn , thực hiện một "phép đo cưỡng bức". Tôi có lẽ nên thay đổi tên của các lớp phức tạp mà tôi đã xác định (để không có "Bài đăng" trong đó) vì vậy hãy gọi chúng là QMS [k] (lượng tử đo lường-select).

Dường như từ các ý kiến ​​cho rằng Shaun có trong đầu một cái gì đó khác với những gì thường được hiểu bởi lựa chọn sau. Bây giờ tôi hiểu điều này có nghĩa là các số liệu thống kê cho bất kỳ phép đo nào được thực hiện trước một bài đăng cụ thể không nên bị thay đổi bởi các bài đăng tiếp theo. Điều này giống như có một toán tử chiếu trong đó việc chuẩn hóa được thực hiện trên mỗi nhánh của hàm sóng tương ứng với một phép đo cụ thể, thay vì toàn bộ hàm sóng.

Trong trường hợp này, các đối số được đưa ra trong các câu trả lời khác của tôi và Neil không còn giữ được nữa. Thật vậy, có thể dễ dàng nhận thấy rằng MPostBQP [k], vì MPostBQP [ k ] có thể được xem như một máy BQP có thể thực hiện k truy vấn đến một nhà tiên tri PP, và do đó P # P ⊆ MPostBQP .$P^{PP[k]}\subseteq$ $[k]$$k$$P^{\# P}\subseteq$

Vì vậy, bây giờ chúng ta có một giới hạn dưới không tầm thường, còn giới hạn trên thì sao? Chà, rõ ràng vấn đề là ở PSPACE , nhưng chúng ta có thể làm tốt hơn không? Thật ra, tôi nghĩ chúng ta có thể.

Chúng ta có thể viết bất kỳ tính toán nào trong MPostBQP dưới dạng một chuỗi các lớp có dạng: tính toán lượng tử theo sau là một bài đăng, sau đó là một phép đo qubit duy nhất. Thật vậy, đây có thể là một cách khác để xây dựng MPostBQP [k], vì một tính toán bao gồm các lớp như vậy (điều này hơi khác với định nghĩa của Shaun mà tôi tin là chỉ tính số lượng các lựa chọn sau), theo sau là lớp cuối cùng của xử lý hậu cổ điển. Tôi sẽ sử dụng định nghĩa này của MPostBQP [k] trong phần sau, vì nó dẫn đến một kết quả thẩm mỹ hơn.$k$

Dưới đây được cập nhật từ phiên bản gốc để sửa một lỗ hổng trong bằng chứng.

$\alpha_w$$|w\rangle$$2^{H}$$a_{j,w}$$H$$a_{j,w} = \pm 2^{-H/2}$ . Xác suất đạt được trạng thái cuối cùng$|w\rangle$$\alpha_w^2 = (\sum_j a_{j,w})^2 = \sum_{i,j} a_{j,w}a_{i,w}$$S_0$$S_1$

$\frac{\pi_1^+ - \pi_1^-}{\pi_1^+ - \pi_1^- - \pi_0^- + \pi_0^+}$$b_1$$X_1$$BPP^{\# P[4]}$

$b_1$$\# P$$b_2$. Lưu ý rằng chúng tôi hiện đã sử dụng 8 cuộc gọi đến nhà tiên tri #P .

$j$$j$$b_{i<j}$$P^{\# P}$$b_j$$4j$

$\subseteq P^{\# P[4k]}$$P^{PP[k]}\subseteq$ $[k]$$P^{PP[k]} \subseteq$ $\subseteq BPP^{\# P[4k]}$ $= P^{\# P}$ .

[Sửa đổi.] Tôi đã sửa đổi câu trả lời của mình dựa trên các sửa đổi của bạn cho câu hỏi của bạn, tôi đã giữ lại nội dung của câu trả lời ban đầu của mình, nhưng làm cho nó ngắn hơn. Mô tả chi tiết hơn về quá trình "mô phỏng" đã được thay thế, nhưng tôi cho rằng nó có thể được nhìn thấy bằng cách xem lịch sử chỉnh sửa của bài đăng này.

Hầu hết mọi người sẽ hiểu "postelection" theo nghĩa xác suất có điều kiện. Thật vậy, phiên bản hiện tại của bài viết Wikipedia trên PostBQP mô tả nó theo cách đó; và được xem như là một hoạt động trên các toán tử mật độ (trong đó người ta áp dụng một bản đồ không tăng theo dõi hoàn toàn dương, sao cho Φ ²  =, và sau đó tái chuẩn hóa theo dõi) người ta khôi phục định nghĩa này.

Với định nghĩa về postelection này, việc xác định thuật toán MPostBQP [ k ] của bạn có thể được mô phỏng bằng thuật toán PostBQP , bằng cách trì hoãn các lựa chọn sau và thực hiện chúng đồng thời, theo cách phù hợp. Điều này được ghi chú ít nhiều rõ ràng trên trang 3 của bài báo Tính toán lượng tử, Postselection và Đa thức xác suất của Aaronson giới thiệu lớp PostBQP .

Điều này có thể được hiển thị rõ ràng bằng cách lưu ý rằng, đối với một chuỗi các bit P ₁  ,   P ₂  , ... được chọn ( ví dụ như ở 1trạng thái, thông thường), không có sự khác biệt giữa việc điều hòa chúng 1ở giữa việc tính toán và điều hòa chúng 1ở cuối quá trình tính toán, miễn là giá trị của các bit này không bị thay đổi trong thời gian tạm thời. Sau đó, thay vì chọn sau mỗi cá nhân 1, chúng ta có thể tính toán logic của chúng trước khi chọn sau và sau đó chọn bài trên kết hợp đó1. Hơn nữa, tính toán AND có thể được thực hiện tại bất kỳ điểm nào giữa lần chuyển đổi cuối cùng của bit và lựa chọn sau của nó. Điều này sẽ không ảnh hưởng đến số liệu thống kê chung của bất kỳ thuộc tính nào của nhà nước.

Do đó, bằng cách sử dụng định nghĩa chung về postelection theo xác suất có điều kiện, chúng ta sẽ có MPostBQP [ k ] =  PostBQP cho tất cả k  > 0.

Như tôi đã lưu ý trong các nhận xét ở trên, tôi không nghĩ rằng hoạt động mà bạn mô tả về trạng thái vectơ - cụ thể, liên quan đến việc tái chuẩn hóa các vectơ trạng thái một cách độc lập trong mỗi nhánh của phân phối xác suất theo kết quả đo- tương ứng với lựa chọn sau, vì nhiều người trong lĩnh vực này (đặc biệt là các nhà thực nghiệm) sẽ mô tả khái niệm này. Nó thậm chí có thể làm phát sinh một số thuộc tính 'phi vật lý', nếu được mở rộng thành ánh xạ trên các toán tử mật độ. Tuy nhiên, đó là một phương tiện khả thi để xây dựng một cái gì đó giống như cây quyết định có các nút được gắn nhãn bởi vectơ trạng thái, và về nguyên tắc, đó là một quá trình nghiên cứu hợp lý theo đúng nghĩa của nó. Tôi sẽ không gọi quá trình đó là 'postelection'.

[Chỉnh sửa.] Vì mục đích gọn gàng, tôi đã xóa ví dụ tính toán. Tôi cho rằng nó có thể được nhìn thấy bằng cách xem lịch sử chỉnh sửa của bài đăng này.

Theo định nghĩa của bạn về MPostBQP , đây chỉ đơn giản là PostBQP trong trang phục lạ mắt. Thay vì cố gắng thuyết phục bạn rằng các phép đo có thể được sắp xếp lại, có lẽ bạn sẽ thấy thuyết phục hơn khi chứng minh MPostBQP = PP , vì người ta biết rằng PostBQP = PP (xem quant-ph / 0412187 ). Để chứng minh điều này, chúng tôi tách nó thành hai nhiệm vụ:

1. $\subseteq$
2. $\subseteq$

$\subseteq$

Dưới đây được điều chỉnh từ bản phác thảo bằng chứng Wikipedia cho PostBQP = PP .

$|\psi\rangle = \prod_i (P_i^1 \prod_j A^{ij}) |x\rangle$$P_i^1$$i$$|1\rangle$$A^{ij}$$A^{ij}$

$\{p_i\}$$q$$\pi_0 = \sum_{w \in S_0} \psi_w^2$$\pi_1 = \sum_{w \in S_1} \psi_w^2$$S_0$$S_1$$p_i = 1 \forall i$$q=0$$q=1$$\pi(1) \geq 2\pi(0)$$\pi_0 \geq 2\pi_1$$\pi_0$$\pi_1$$\psi_w$$\psi$$w$$i$$j$$A^{ij}$$k$$G$$\psi_w = \sum_{\alpha_1 ... \alpha_G} A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$

$\frac{1}{2}(1+C(\pi_1-\pi_0))$$C>0$$x \in L$$\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0)> \frac{1}{2}$$\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0) < \frac{1}{2}$$x \notin L$

$\alpha = \{\alpha_i\}$$F(A,w,\alpha,X) = A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$$\pi_1 - \pi_0 = \sum_{w \in S_1} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X) - \sum_{w \in S_0} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X)$

Một máy PP như vậy sau đó có thể được định nghĩa như sau:

1. $w$
2. $w \notin S_0 \cup S_1$$1/2$
3. $\alpha$$\alpha'$$G$
4. $X = F(A,w,\alpha,x)F(A,w,\alpha',x)$
5. $w\in S_1$$\frac{1+X}{2}$$w\in S_0$$\frac{1-X}{2}$

$\subseteq$$k$