Sự tồn tại của

10

Hãy xem xét vấn đề Tập hợp thống trị trong các biểu đồ chung và gọi là số đỉnh trong biểu đồ. Một thuật toán xấp xỉ tham lam mang lại sự đảm bảo gần đúng cho yếu tố , tức là có thể tìm thấy trong đa thức thời gian một giải pháp sao cho , trong đó là kích thước của tập hợp thống trị tối thiểu. Có các giới hạn cho thấy rằng chúng tôi không thể cải thiện sự phụ thuộc vào much http://www.cs.duke.edu/cifts/spring07/cps296.2/ con / p634-fake.pdf . $n$ $1 + \log n$ $S$ $|S| \leq (1 + \log n) opt$ $opt$ $\log n$

Câu hỏi của tôi: có một thuật toán gần đúng có đảm bảo về mặt thay vì không? Trong đồ thị nơi là rất lớn đối với việc tối ưu với, một factor- xấp xỉ sẽ tồi tệ hơn nhiều so với một yếu tố xấp xỉ. Là một cái gì đó như đã biết, hoặc có lý do tại sao điều này không thể tồn tại? Tôi hài lòng với bất kỳ thuật toán đa thức thời gian nào tạo ra một giải pháp sao cho đối với một số liên tục . $opt$ $n$ $n$ $\log n$ $\log opt$ $S$ $|S| \in O(opt^c)$ $c$

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— Bart Jansen
nguồn

14

Tôi nghĩ nó vẫn mở nếu Bộ thống trị hoặc Bộ đánh có xấp xỉ af (OPT) cho một số chức năng (không cần thiết) f. Đây phải là một câu hỏi rất khó (và có thể sâu) để trả lời. Tôi coi đó là câu hỏi thú vị nhất trong phép tính gần đúng tham số (cùng với câu hỏi tương tự cho Clique). Bạn có thể muốn xem khảo sát của tôi [1] thảo luận về điều này. Lưu ý rằng nó đã được chỉ ra trong bài báo gần đây [2] rằng "mức độ thỏa mãn của mạch đơn điệu đối với mạch sợi ngang-2", một vấn đề chung hơn so với Bộ thống trị, không có xấp xỉ f (OPT) cho bất kỳ f.

[1] D. Marx. Độ phức tạp tham số và thuật toán xấp xỉ. Tạp chí máy tính, 51 (1): 60-78, 2008.

[2] D. Marx. Các vấn đề tham số hóa đơn điệu và antimonotone hoàn toàn không thể gần đúng. Trong Kỷ yếu của Hội nghị IEEE thường niên lần thứ 25 về Độ phức tạp tính toán, Cambridge, Massachusetts, 181-187, 2010.

— Daniel Marx
nguồn

Cảm ơn các bạn đã tham khảo! Điều này trả lời câu hỏi của tôi độc đáo.

— Bart Jansen

Cũng có thể thú vị khi xem ghi chú sau đây của Nelson cho thấy rằng người ta không thể có được tỷ lệ tốt chỉ phụ thuộc vào số lượng bộ. eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2007/TR07-105/revisn01.pdf

— Chandra Chekuri

2

Đây phải là một nhận xét, vì nó không trả lời trực tiếp câu hỏi của bạn, mà là một câu hỏi liên quan. Có lẽ một mẹo tương tự từ [1] sẽ cung cấp cho bạn câu trả lời.

Trong [1] những điều sau đây đã được chứng minh:

$G=(V,E)$ $k$ $k$ $G$ $g(k)$ $g(k)$ $k$ $G$ $k$

$g(k)$

[1] Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Catherine McCartin và Frances Roshua. "Xấp xỉ tham số hóa các vấn đề tập hợp thống trị". Thư xử lý thông tin, Tập 109 Số 1, Tháng 12, 2008.

— Ruub
nguồn

1

Thủ thuật trong [1] dựa trên thực tế là Tập hợp thống trị độc lập như một vấn đề tối đa hóa không phải là đơn điệu: một tập hợp con của một giải pháp khả thi không nhất thiết là một giải pháp khả thi (thường là trường hợp cho các vấn đề tối đa hóa có xấp xỉ có ý nghĩa). Do đó, rất có thể mọi giải pháp khả thi đều có cùng kích thước, làm cho xấp xỉ không liên quan.

— Daniel Marx