Bất kỳ vấn đề thuật toán có một sự phức tạp thời gian chi phối bằng cách đếm?

Điều tôi đề cập đến khi đếm là vấn đề bao gồm việc tìm số lượng giải pháp cho một hàm. Chính xác hơn, được cung cấp một hàm (không nhất thiết phải là hộp đen), gần đúng .$f:N\to \{0,1\}$$\#\{x\in N\mid f(x)= 1\}= |f^{-1}(1)|$

Tôi đang tìm kiếm các vấn đề thuật toán liên quan đến một số cách đếm và độ phức tạp thời gian bị ảnh hưởng rất lớn bởi vấn đề đếm cơ bản này.

Tất nhiên, tôi đang tìm kiếm những vấn đề không được tính đến vấn đề. Và nó sẽ được đánh giá rất cao nếu bạn có thể cung cấp tài liệu cho những vấn đề này.

Đây là phần tiếp theo câu trả lời của Suresh. Như ông nói, có rất nhiều vấn đề xây dựng trong hình học tính toán trong đó độ phức tạp của đầu ra là mức thấp hơn tầm thường trong thời gian chạy của bất kỳ thuật toán nào. Ví dụ: sắp xếp đường phẳng, biểu đồ Voronoi 3 chiều và đồ thị khả năng hiển thị phẳng đều có độ phức tạp tổ hợp trong trường hợp xấu nhất, do đó, bất kỳ thuật toán nào xây dựng các đối tượng đó đều yêu cầu thời gian trong trường hợp xấu nhất. (Có các thuật toán thời gian cho cả ba vấn đề đó.)Ω ( n 2 ) O ( n 2$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$O(n^2)$

Nhưng những hạn chế tương tự cũng được phỏng đoán để áp dụng cho các vấn đề quyết định . Ví dụ, được đưa ra một tập hợp n dòng trong mặt phẳng, bạn có thể dễ dàng kiểm tra xem có bất kỳ ba dòng nào đi qua một điểm chung không? Chà, bạn có thể xây dựng sự sắp xếp các đường (biểu đồ phẳng được xác định bởi các điểm giao nhau của chúng và các đoạn giữa chúng), nhưng điều đó làm mất thời gian . Một trong những kết quả chính của luận án tiến sĩ của tôi là trong mô hình tính toán cây quyết định hạn chế nhưng tự nhiên, cần có thời gian để phát hiện ba giao điểm. Theo trực giác, chúng ta phải liệt kê tất cả các điểm giao nhau \ binom {n} {2} và tìm kiếm các bản sao.Ω ( n 2 )$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$\binom{n}{2}$

Tương tự, có một tập hợp các số trong đó bộ ba phần tử tổng bằng không. Do đó, bất kỳ thuật toán nào (được mô hình hóa bởi một loại cây quyết định nhất định) để kiểm tra xem một tập hợp đã cho có chứa ba phần tử tổng bằng không cần thời gian . (Có thể cạo một số bản ghi thông qua song song mức bit, nhưng bất cứ điều gì.)$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$

Một ví dụ khác, cũng từ luận điểm của tôi, là vấn đề của Hopcroft: Cho điểm và đường thẳng trong mặt phẳng, có điểm nào chứa bất kỳ đường nào không. Số trường hợp xấu nhất trong các trường hợp điểm dòng được biết đến là . Tôi đã chứng minh rằng trong một mô hình tính toán hạn chế (nhưng vẫn tự nhiên), cần có thời gian để xác định xem có thậm chí chỉ có một tỷ lệ dòng điểm hay không. Theo trực giác, chúng ta phải liệt kê tất cả gần trùng khớp và kiểm tra từng người để xem liệu đó có thực sự là một tỷ lệ mắc hay không.$n$$n$$\Theta(n^{4/3})$$\Omega(n^{4/3})$$\Theta(n^{4/3})$

Chính thức, các giới hạn dưới này vẫn chỉ là phỏng đoán, bởi vì chúng yêu cầu các mô hình tính toán hạn chế, chuyên biệt cho vấn đề trong tay, đặc biệt là đối với vấn đề của Hopcroft). Tuy nhiên, việc chứng minh các giới hạn thấp hơn cho các vấn đề này trong mô hình RAM có thể cũng khó như mọi vấn đề giới hạn thấp khác (nghĩa là chúng tôi không có đầu mối) - xem bài báo SODA 2010 của Patrascu và Williams liên quan đến khái quát hóa 3SUM theo thời gian theo cấp số nhân giả thuyết.

Tôi không hoàn toàn chắc chắn nếu đây là ý của bạn nhưng có một loạt vấn đề dường như không phải là họ đang tính vấn đề, tuy nhiên, cách tốt nhất mà chúng ta biết cách giải quyết chúng là đếm các đối tượng. Một vấn đề như vậy là phát hiện xem một đồ thị có chứa một hình tam giác hay không. Thuật toán được biết đến nhanh nhất là tính toán dấu vết của khối lập phương của ma trận kề, gấp 6 lần số lượng tam giác trong biểu đồ (không xác định). Điều này làm mất thời gian O ( ) bằng thuật toán nhân ma trận Coppersmith-Winograd, và lần đầu tiên được chú ý bởi Itai và Rodeh vào năm 1978. Tương tự, cách tốt nhất mà chúng ta biết để phát hiện một k-clique là tìm ra số lượng k-cliques, một lần nữa thông qua phép nhân ma trận.$|V|^{2.376}$

Valiant đã chứng minh rằng vấn đề tìm kiếm vĩnh viễn của ma trận đã hoàn tất cho #P . Xem trang wikipedia về vấn đề này. #P là lớp phức tạp tương ứng với việc đếm số lượng đường dẫn chấp nhận của máy NP.

Bipartite Planar (và log chi) Perfect Match là một vấn đề trong đó thuật toán của Kastelyn để đếm các trận đấu phẳng (được mở rộng bởi Galluccio và Loebl và song song bởi Kulkarni, Mahajan & Vardarajan) đóng vai trò quan trọng ngay cả trong phiên bản tìm kiếm của vấn đề. Tất cả các tài liệu tham khảo có liên quan có thể được tìm thấy trong bài báo sau:

Một số kết hợp hoàn hảo và kết hợp nửa tích phân hoàn hảo trong NC. Raghav Kulkarni, Meena Mahajan và Kasturi R. Varadarajan. Tạp chí khoa học máy tính lý thuyết Chicago, tập 2008 Điều 4.

Tôi sẽ coi "ảnh hưởng rất lớn" là một ràng buộc mềm hơn là giảm bớt. Theo nghĩa đó, NHIỀU vấn đề trong hình học tính toán có thời gian chạy bị giới hạn bởi một số cấu trúc tổ hợp bên dưới chúng. ví dụ, sự phức tạp của việc tính toán sự sắp xếp các hình dạng được liên kết trực tiếp với sự phức tạp nội tại của sự sắp xếp đó.

Một ví dụ điển hình khác của vấn đề này là các vấn đề khác nhau trong khớp mẫu điểm có thời gian chạy để ước lượng các đại lượng như số lượng khoảng cách lặp lại trong một tập hợp điểm, v.v.

Không chắc đây có phải là thứ bạn đang tìm kiếm hay không, nhưng sự chuyển pha của các vấn đề NP-Complete phụ thuộc rất nhiều vào các đối số xác suất, đây chỉ là một hình thức đếm khác.

LLL đã được sử dụng để giải quyết một số vấn đề về Subset Sum 'mật độ thấp', thành công của nó dựa trên các vectơ mạng tinh thể ngắn có xác suất cao đáp ứng các tiêu chí là một giải pháp Tổng hợp con. Khảo sát Tuyên truyền dựa trên cấu trúc của không gian giải pháp (và số lượng giải pháp khi nó sửa các biến) để tìm giải pháp gần ngưỡng tới hạn.

Borgs, Chayes và Pittel có khá nhiều đặc điểm hoàn toàn chuyển đổi pha của Vấn đề phân vùng số ngẫu nhiên (thống nhất) và do đó đã mô tả có bao nhiêu giải pháp mà người ta có thể mong đợi cho một trường hợp (ngẫu nhiên) nhất định của Vấn đề phân vùng số.