Sự phức tạp của (có thể cô đọng) Nurikabe là gì?

Nurikabe là một câu đố điền vào lưới dựa trên ràng buộc, tương tự như Minesweeper / Nonograms; các số được đặt trên một lưới chứa đầy các giá trị bật / tắt cho mỗi ô, với mỗi số chỉ ra một vùng được kết nối với các ô có kích thước đó và một số ràng buộc nhỏ trên vùng của các ô 'tắt' (nó phải được kết nối và không thể chứa bất kỳ vùng 2x2 liền kề nào). Trang Wikipedia có nhiều quy tắc rõ ràng hơn và các câu đố mẫu.

Nhìn chung, các câu đố thuộc loại này có xu hướng hoàn thành NP, và Nurikabe cũng không ngoại lệ; họ rơi vào NP vì bản thân giải pháp đóng vai trò là nhân chứng (có thể kiểm chứng chính xác) cho vấn đề. Nhưng không giống như hầu hết các câu đố tương tự, trường hợp Nurikabe có thể là ngắn gọn: Sudoku trên một lưới đòi hỏi Θ ( n ) Givens là khả năng giải quyết (nếu ít hơn n - 1 Givens được cung cấp, sau đó không có cách nào phân biệt giữa những biểu tượng mất tích) , Nonograms rõ ràng yêu cầu ít nhất một cho mỗi hàng hoặc cột và Minesweeper phải có givens trên ít nhất $n\times n$$\Theta(n)$$n-1$ trong số các ô hoặc sẽ có các ô không nằm cạnh một ô cụ thể (và do đó không xác định được trạng thái của chúng). Nhưng trong khi Givens của một câu đố Nurikabe phải tổng hợp đểΘ(n2), nó có thể cóO(1)Givens mỗi kích thước đó, đểΘ(log(n))bit có thể là đủ để xác định một câu đố Nurikabe có kích thướcn- hoặc đảo ngược,kbit có thể đủ để chỉ định một ví dụ Nurikabe có kích thước mũ theok, nghĩa là đảm bảo duy nhất là vấn đề nằm ở NEXP.$1\over16$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

$\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$hình chữ nhật, và do đó có một mô tả cô đọng của riêng họ. Có ai biết về nghiên cứu bổ sung đã được thực hiện trong câu đố này ngoài kết quả hoàn thành NP cơ bản, và đặc biệt có bất kỳ kết quả phức tạp nào nữa cho các trường hợp có thể cô đọng không?

(lưu ý: điều này ban đầu được hỏi tại math.SE , nhưng chưa có câu trả lời nào ở đây và điều này có vẻ phù hợp ở cấp độ nghiên cứu cho trang web này)

Bạn dường như đang thực sự hỏi: Nurikabe trong NP?

Nurikabe là NP-hard, vì người ta có thể xây dựng các tiện ích có kích thước đa thức có thể được sử dụng để giảm một vấn đề hoàn chỉnh NP thành vấn đề quyết định của Nurikabe. Đây là những gì Holzer, Klein và Kutrib làm, và cả McPhail và Fix trong poster của họ (cả hai đều được tham khảo từ bài viết trên Wikipedia).

Cả hai nhóm tác giả đều cho rằng vấn đề này không đáng kể trong NP, và loại bỏ câu hỏi về tư cách thành viên. Sự khó chịu của bạn về các trường hợp cô đọng dường như được chú ý - Tôi không tin vấn đề nằm ở NP. Hãy xem xét cách sau đây để chính thức hóa vấn đề quyết định:

Đầu vào BINary NURIKABE : số nguyên m và n ở dạng nhị phân , đại diện cho bảng Nurikabe và danh sách các bộ ba, mỗi số chỉ ra một vị trí trên bảng và một số nguyên dương được viết ở vị trí đó.
Câu hỏi: các vị trí bảng còn lại có thể được tô màu bằng hai màu, tôn trọng các ràng buộc Nurikabe không?

$m$$n$$mn$

$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

Câu hỏi của bạn sau đó trở thành: có tồn tại các chứng chỉ có kích thước đa thức cho tất cả các trường hợp Nurikabe nhị phân, có thể được kiểm tra trong thời gian đa thức không?

Nó không rõ ràng với tôi rằng các chứng chỉ như vậy nhất thiết phải tồn tại. Cũng không rõ ràng làm thế nào người ta có thể chứng minh rằng các chứng chỉ ngắn gọn, có thể kiểm chứng nhanh chóng có thể tồn tại.

Tuy nhiên, hạn chế đối với các giải pháp duy nhất có nghĩa là vấn đề thực sự là ở Hoa Kỳ , do đó, đồng NP-hard, và do đó khó có thể nằm trong NP. Vấn đề là nếu một người coi "có một giải pháp duy nhất" là một ràng buộc của Nurikabe (trái ngược với tính năng mong muốn của các trường hợp được trình bày cho con người), thì không đủ để chứng minh rằng có một giải pháp, nhưng người ta cũng phải chứng minh rằng không có giải pháp nào khác là có thể Chỉ riêng yêu cầu này là đủ để đảm bảo vấn đề có thể không nằm trong NP. Điều này đúng ngay cả đối với phiên bản đơn nhất của vấn đề.

Tóm lại: nếu một người nới lỏng yêu cầu giải pháp duy nhất và chỉ định kích thước bảng một cách đơn nhất, thì vấn đề quyết định nằm ở NP; với các giải pháp không duy nhất và kích thước bảng nhị phân, không rõ liệu vấn đề quyết định có nằm trong NP hay không; và với các giải pháp duy nhất, vấn đề quyết định là khó ở Hoa Kỳ và do đó khó có thể nằm trong NP, đối với mã hóa kích thước bảng.