Nhúng Isometric của L2 vào L1

Được biết, với một tập hợp con điểm của (nghĩa là đã cho điểm trong với khoảng cách Euclide), có thể nhúng chúng theo phương diện đo lường trong . $n$ $\ell_2^d$ $n$ ${\mathbb R}^d$ $\ell^{n\choose 2}_1$

Là isometry tính toán trong thời gian đa thức (có thể, ngẫu nhiên)?

Vì có các vấn đề chính xác hữu hạn, câu hỏi chính xác là

Cho một tập hợp gồm điểm trong và , có ánh xạ có thể tính toán được (có thể, sử dụng tính ngẫu nhiên) trong đa thức thời gian theo và logarit trong sao cho với mọi ta có $X$ $n$ ${\mathbb R}^d$ $\epsilon >0$ $f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$ $n$ $1/\epsilon$ $x,y\in X$

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

(Lưu ý: Tôi biết rằng một ánh xạ với méo có thể được tìm thấy với xác suất cao trong thời gian đa thức trong và bằng cách chiếu trên các dòng ngẫu nhiên, nhưng tôi không chắc liệu số lượng kích thước có thể được giảm về mặt xây dựng thành hay thậm chí khi lớn hơn hay không và tôi không biết nếu có là một phương pháp thời gian đa thức để xử lý trường hợp trong đó là số mũ theo .) $(1+\epsilon)$ $n$ $1/\epsilon$ $O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$ $n\choose 2$ $O(n^2)$ $1/\epsilon$ $n$ $1/\epsilon$ $n$

cg.comp-geom metrics embeddings

— Luca Trevisan
nguồn

đây là một câu hỏi rất hay @Luca, bạn có nghi ngờ nó có thể khó không? (tất nhiên suy nghĩ đầu tiên của tôi là nhìn qua 'Hamming gặp Euclid', và sau đó tôi thấy danh tính của người hỏi :)

— Suresh Venkat

Tài liệu tham khảo này dường như có liên quan: Pjotr Indyk, "Nguyên tắc không chắc chắn, trích xuất và nhúng rõ ràng của l2 vào l1", Proc. STOC'07.

— Martin Schwarz

@David: là số điểm, tôi đã sửa vị trí mà tôi đã sử dụng cho thứ nguyên. Có thể điểm trong không gian Euclide (của bất kỳ kích thước nào) được nhúng bằng phương trong ở đây: www-math.mit.edu/~goemans/18409-2006/lec1.pdf nhưng không phải -Cấu tạo. (Định lý của Carathéodory đi từ chiều hữu hạn nhưng kích thước lớn sang kích thước với lỗi nhỏ tùy ý và một đối số rút gọn để chuyển từ lỗi nhỏ tùy ý sang lỗi không.)

n

$n$

n

$n$

n

$n$

ℓ_{1}^{(\binom{n}{2})}

$\ell_1^{n \choose 2}$

(\binom{n}{2})

${n \choose 2}$

— Luca Trevisan

@Martin: cảm ơn đã tham khảo. Bài viết của Piotr liên quan đến vấn đề khó hơn khi ánh xạ tất cả (không chỉ là một tập hợp điểm cố định ) thành . Đối với vấn đề này, tôi tin rằng đó là một vấn đề mở ngay cả để đạt được, về mặt xây dựng, và biến dạng . (Piotr được và .)

ℓ_{2}^{d}

$\ell_2^d$

n

$n$

ℓ_{1}^{m}

$\ell_1^m$

m = p o l y (d, 1 / ϵ)

$m = poly(d,1/\epsilon)$

(1 + ϵ)

$(1+\epsilon)$

m = d^{O (\log d)}

$m = d^{O(\log d)}$

ϵ = 1 / d

$\epsilon = 1/d$

— Luca Trevisan

@LucaTrevisan: re: độ cứng của việc nhúng trong l1, điều này là đúng (nó được đề cập trong Chương 1 hoặc 2 của cuốn sách Deza và Laurent - Tôi nghĩ qua MAX CUT)

— Suresh Venkat

Suresh yêu cầu tôi tập hợp các ý kiến của mình ở trên thành một câu trả lời, vì vậy đây là. Tuy nhiên, tôi không chắc chắn đó là câu trả lời cho câu hỏi ban đầu, vì không rõ ràng làm thế nào để biến nó thành thời gian đa thức khi kích thước của không gian Euclide đầu vào không phải là hằng số. Nó ít nhất có lợi thế là tránh mọi vấn đề với như câu hỏi ban đầu, bởi vì nó không liên quan đến bất kỳ xấp xỉ nào, và nó có vẻ đa thức cho hằng số . $1/\epsilon$ $d$

Dù sao: từ hình học tích phân, có một thước đo tiêu chuẩn cho các tập hợp siêu phẳng trong không gian Euclide -dimensional bất biến dưới các đồng đẳng Euclide. Nó có đặc tính là độ dài của bất kỳ đường cong có giới hạn tỷ lệ thuận với số đo của siêu phẳng đi qua (với bội số, nghĩa là nếu một siêu phẳng vượt qua hai lần thì nó đóng góp hai lần vào tổng số đo của siêu phẳng đi qua ). Cụ thể, nếu là một đoạn thẳng thì biến chứng đa bội không phát sinh và chúng ta có thể bình thường hóa số đo trên các siêu phẳng đi qua để chính xác là độ dài của $d$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ . (Các siêu phẳng chứa có số đo bằng 0, vì vậy đừng lo lắng về tính đa bội vô hạn.) $C$

Bây giờ, với một tập hợp n điểm trong không gian d chiều, hãy tạo tọa độ cho mỗi phân vùng của các điểm thành hai tập hợp con được tạo bởi một siêu phẳng không đi qua bất kỳ điểm nào. Cho các điểm ở một phía của giá trị tọa độ phân vùng bằng 0 và các điểm ở phía bên kia của giá trị tọa độ phân vùng bằng với số đo của siêu phẳng tạo ra phân vùng đó. $\ell_1$

Nếu và là hai trong số điểm bất kỳ , hãy đặt là tập hợp các siêu phẳng vượt qua phân đoạn và đặt là tập con của được tạo bởi mỗi phân vùng siêu phẳng có thể có ở một bên và ở bên kia. Khi đó là liên kết rời rạc của và sự khác biệt tọa độ giữa và chỉ là các số đo của các tập con . Do đó, khoảng cách giữa các phối hợp của và $p$ $q$ $n$ $K$ $pq$ $K_i$ $K$ $p$ $q$ $K$ $K_i$ $p$ $q$ $K_i$ $\ell_1$ $p$ $q$ (tổng các số đo của ) là số đo của , chỉ là khoảng cách gốc giữa và . $K_i$ $K$ $\ell_2$ $p$ $q$

Đối với máy đo địa lý tính toán, một mô tả thay thế của cùng một cấu trúc có thể hữu ích: sử dụng tính đối ngẫu chiếu để biến điểm đầu vào thành siêu phẳng và tách siêu phẳng thành điểm. Biện pháp hình học tích phân trên các bộ siêu phẳng sau đó được chuyển thành một số đo chuẩn hơn trên các tập hợp điểm, khoảng cách giữa và đôi với số đo của nêm kép giữa hai siêu phẳng và phân vùng siêu phẳng phân chia nêm đôi này thành các ô nhỏ hơn . Giá trị tọa độ cho một điểm là số đo của một trong các ô trong sắp xếp (nếu siêu phẳng kép nằm dưới ô của tọa độ đó) hoặc bằng 0 (nếu siêu phẳng kép nằm trên ô). Do đó, $n$ $n$ $p$ $q$ $\ell_1$ khoảng cách giữa và chỉ là tổng số đo của các ô trong hình nêm kép, giống như số đo của toàn bộ hình nêm kép. Quan điểm kép này cũng giúp bạn dễ dàng tính toán kích thước của nhúng được tìm thấy theo cách này: đó chỉ là số lượng ô trong sắp xếp siêu phẳng, đó là , hay chính xác hơn là nhiều nhất . $p$ $q$ $O(n^d)$ $\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

Cho đến nay, điều này mang lại sự nhúng hoàn toàn xác định và chính xác trong . Nhưng chúng tôi muốn có kích thước nhỏ hơn, . Dưới đây là nhận xét của Luca về định lý của Carathéodory . Tập hợp các số liệu có thể biểu thị tạo thành một hình nón đa diện trong không gian hai chiều của tất cả các hàm từ các cặp điểm không được sắp xếp thành số thực và đối số hình học ở trên nói rằng số liệu Euclide thuộc về hình nón này. Các điểm trên các tia cực trị của hình nón là một chiều $\ell_1^{O(n^d)}$ $\ell_1^{n\choose 2}$ $\ell_1$ $n\choose 2$ $\ell_1$ pseudometrics (trong đó các điểm được chia thành hai tập hợp, tất cả các khoảng cách trong một tập hợp đều bằng 0 và tất cả các khoảng cách trên các phần tách đều bằng nhau) và Carathéodory nói rằng bất kỳ điểm nào trong hình nón (bao gồm cả điểm chúng ta quan tâm) đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp các điểm lồi trên các tia cực trị có số lượng nhiều nhất là chiều của không gian xung quanh, . Nhưng một tổ hợp lồi có tối đa số liệu một chiều là một số liệu . $n\choose 2$ $n\choose 2$ $\ell_1$ $\ell_1^{n\choose 2}$

Cuối cùng, làm thế nào chúng ta có thể thực sự tính toán việc nhúng select chiều? Tại thời điểm này, chúng ta không chỉ có một điểm trong hình nón lồi hai chiều của số liệu (số liệu khoảng cách chúng ta bắt đầu), mà chúng ta còn có một tập hợp các điểm cực trị của hình nón (tương ứng với các phân vùng của đầu vào thành hai tập hợp con do siêu phẳng gây ra) sao cho số liệu của chúng tôi là sự kết hợp lồi của các điểm cực trị này - đối với nhỏ , đây là một cải tiến lớn so với các tia cực trị mà hình nón có tổng thể. Bây giờ tất cả những gì chúng ta cần làm là áp dụng một thuật toán tham lam loại bỏ các điểm cực trị khỏi tập hợp của chúng ta, từng cái một, cho đến khi chỉ $n\choose 2$ $n\choose 2$ $\ell_1$ $O(n^d)$ $d$ $2^n-2$ $n\choose 2$ trong số họ còn lại. Ở mỗi bước, chúng ta cần duy trì một bất biến rằng số liệu của chúng ta vẫn nằm trong vỏ lồi của các điểm cực trị còn lại, đây chỉ là một vấn đề khả thi lập trình tuyến tính, và nếu chúng ta thực hiện Carathéodory này sẽ đảm bảo rằng luôn có một tập hợp điểm cực trị có vỏ lồi chứa số liệu đầu vào. $n\choose 2$

— David Eppstein
nguồn